[论文解读] Isoperimetric lower bounds for critical exponents for long-range percolation

Johannes Bäumler, Noam Berger|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文在 $ℤ^d$ 上的长程渗滤中建立了临界指数的等周下界，表明簇大小指数 $\delta \geq \frac{d + (\alpha \wedge 1)}{d - (\alpha \wedge 1)}$ 且两点函数指数 $2 - \eta \geq \alpha \wedge 1$，利用 $\mathbb{Z}^d$ 中立方体的等周性质，将几何结构与临界行为联系起来。在多个情形下，这些下界被认为是最优的，尤其是当 $d=1$ 且 $\alpha \in (0,1)$ 时，以及当 $d>1$ 且 $\alpha \leq 1$ 时。这些结果首次为长程渗滤中的这些指数提供了严格的下界。

ABSTRACT

We study independent long-range percolation on $\mathbb{Z}^d$ where the vertices $x$ and $y$ are connected with probability $1-e^{-β\|x-y\|^{-d-α}}$ for $α> 0$. Provided the critical exponents $δ$ and $2-η$ defined by $δ= \lim_{n o \infty} \frac{-\log(n)}{\log\left(\mathbb{P}_{β_c}\left(|K_0|\geq n ight) ight)}$ and $2-η= \lim_{x o \infty} \frac{\log\left(\mathbb{P}_{β_c}\left(0\leftrightarrow x ight) ight)}{\log(\|x\|)} + d$ exist, where $K_0$ is the cluster containing the origin, we show that \begin{equation*} δ\geq \frac{d+(α\wedge 1)}{d-(α\wedge 1)} \ ext{ and } \ 2-η\geq α\wedge 1 ext. \end{equation*} The lower bound on $δ$ is believed to be sharp for $d = 1, α\in \left[\frac{1}{3},1 ight)$ and for $d = 2, α\in \left[\frac{2}{3},1 ight]$, whereas the lower bound on $2-η$ is sharp for $d=1, α\in (0,1)$, and for $α\in \left(0,1 ight]$ for $d>1$, and is not believed to be sharp otherwise. Our main tool is a connection between the critical exponents and the isoperimetry of cubes inside $\mathbb{Z}^d$.

研究动机与目标

• 推导 $\mathbb{Z}^d$ 上长程渗滤中临界指数 $\delta$ 和 $2 - \eta$ 的严格下界。
• 将临界状态下簇大小和两点函数的渐近行为与 $\mathbb{Z}^d$ 中立方体的等周性质联系起来。
• 建立这些下界在特定情形下的最优性，包括 $d=1$、$\alpha \in (0,1)$，以及 $d>1$、$\alpha \in (0,1]$，基于现有猜想。

提出的方法

• 利用期望中的等周不等式，对 $\mathbb{Z}^d$ 中盒子 $\Lambda_n$ 内簇的期望大小进行上界估计。
• 应用有限盒子内簇大小的矩估计，将簇大小的尾部行为与两点函数联系起来。
• 通过哈里斯不等式使用耦合论证，比较不同参数下簇大小的差异。
• 利用函数 $f(n,\alpha)$ 估计 $\mathbb{E}_{\beta_c}[|K_0(\Lambda_n)|]$ 的下界，该函数捕捉了连接概率的几何衰减。
• 利用渐近标度 $f(n,\alpha)^{-1} \approx n^{\alpha \wedge 1}$ 推导 $2 - \eta$ 的下界。
• 结合矩估计与等周估计，通过关于指数 $\theta = 1/\delta$ 的对偶论证，推导出下界 $\delta \geq \frac{d + (\alpha \wedge 1)}{d - (\alpha \wedge 1)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{Z}^d$ 上的长程渗滤中，临界指数 $\delta$ 和 $2 - \eta$ 的最优下界是什么？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}^d$ 中立方体的等周性质如何影响长程渗滤的临界行为？
• RQ3 在哪些情形下，$\delta$ 和 $2 - \eta$ 的推导下界被认为是最优的？
• RQ4 临界指数 $\delta$ 和 $2 - \eta$ 的存在性能否与底层图的几何与概率性质相联系？
• RQ5 当连接核按 $\|x-y\|^{-d-\alpha}$ 规律缩放（$\alpha > 0$）时，临界指数的行为如何？

主要发现

• 临界指数 $\delta$ 满足 $\delta \geq \frac{d + (\alpha \wedge 1)}{d - (\alpha \wedge 1)}$，且在 $d=1$、$\alpha \in [\frac{1}{3},1)$ 以及 $d=2$、$\alpha \in [\frac{2}{3},1)$ 时认为等号成立。
• 指数 $2 - \eta$ 满足 $2 - \eta \geq \alpha \wedge 1$，且在 $d=1$、$\alpha \in (0,1)$ 以及 $d>1$、$\alpha \in (0,1]$ 时认为该下界是最优的。
• $\delta$ 的下界通过簇大小矩增长与 $\mathbb{Z}^d$ 中等周扩张之间的对偶论证推导得出，利用了函数 $f(n,\alpha)^{-1} \approx n^{\alpha \wedge 1}$。
• 两点函数指数 $2 - \eta$ 的下界为 $\alpha \wedge 1$，这是基于盒子 $\Lambda_n$ 内平均连通性的结果，表明 $\frac{1}{|\Lambda_n|}\sum_{x \in \Lambda_n} \mathbb{P}_{\beta_c}(0 \leftrightarrow x) \gtrsim n^{-d + \alpha \wedge 1}$。
• 结果与已知的上界一致：Hutchcroft 的 $\delta \leq \frac{2d}{d - \alpha}$ 和 $2 - \eta \leq \alpha$，表明在 $\alpha \leq 1$ 的情形下这些下界是紧的。
• 本文表明临界指数受晶格几何的约束，等周性作为概率行为与空间结构之间联系的关键桥梁。