[论文解读] Isoptic curves of conic sections in constant curvature geometries

Géza Csima, Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文提出一种基于射影模型的方法，用于计算并可视化在常曲率几何（包括双曲面和椭圆面）中，圆锥曲线在固定视角下所成的等角曲线——即从该点观察圆锥曲线时视角恒定的点的轨迹。该文推导出椭圆、双曲线和抛物线在椭圆几何中的等角曲线显式代数方程，扩展了先前的欧氏几何结果，并首次系统地研究了椭圆空间中的等角曲线问题。

ABSTRACT

In this paper we consider the isoptic curves on the 2-dimensional geometries of constant curvature $\bE^2,~\bH^2,~\cE^2$. The topic is widely investigated in the Euclidean plane $\bE^2$ see for example \cite{CMM91} and \cite{Wi} and the references given there, but in the hyperbolic and elliptic plane there are few results in this topic (see \cite{CsSz1} and \cite{CsSz2}). In this paper we give a review on the preliminary results of the isoptics of Euclidean and hyperbolic curves and develop a procedure to study the isoptic curves in the hyperbolic and elliptic plane geometries and apply it for some geometric objects e.g. proper conic sections. We use for the computations the classical models which are based on the projectiv interpretation of the hyperbolic and elliptic geometry and in this manner the isoptic curves can be visualized on the Euclidean screen of computer.

研究动机与目标

• 将等角曲线——即从该点观察曲线时视角恒定的点的轨迹——的研究从欧氏平面扩展至双曲几何与椭圆几何。
• 解决椭圆几何中缺乏相关结果的问题，目前尚无关于圆锥曲线等角曲线的已有研究。
• 基于射影模型开发一种计算框架，以推导并可视化非欧氏常曲率空间中的等角曲线。
• 将该方法应用于特定圆锥曲线：椭圆、双曲线及在椭圆平面上具有适当焦点的抛物线。
• 为这些圆锥曲线在椭圆几何中的等角曲线提供显式代数方程，包括正交等角曲线（α = π/2）的情形。

提出的方法

• 在洛伦兹空间中使用符号为 (1,2) 的射影模型表示椭圆几何，将点表示为实射影空间中的射线，并引入二次型。
• 利用几何定义（焦点与准线）在射影模型中表示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）。
• 通过双线性型在椭圆几何中应用距离公式，以计算视角角度条件。
• 通过求解方程组推导等角曲线：(1) 从一点引出的两条切线夹角为 α；(2) 切线与圆锥曲线相切的条件。
• 使用隐函数微分与代数消去法，推导出等角轨迹的封闭形式方程。
• 在欧氏屏幕上使用射影模型可视化所得曲线，实现数值与图形分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆平面上椭圆的 α-等角曲线的代数方程是什么？
• RQ2 椭圆几何中双曲线与抛物线的等角曲线与它们的欧氏对应物有何不同？
• RQ3 椭圆圆锥曲线等角曲线存在的几何与角度条件是什么？
• RQ4 椭圆圆锥曲线的正交等角曲线（α = π/2）能否表示为已知的代数曲线？
• RQ5 射影模型如何促进非欧氏常曲率几何中等角曲线的计算与可视化？

主要发现

• 椭圆圆锥曲线（椭圆、双曲线或抛物线）的 α-等角曲线在射影模型中具有封闭形式的代数方程。
• 对于椭圆平面中的椭圆与双曲线，其等角曲线方程为：$\cos^{2}(\alpha) = \frac{\left((1+f^{2})\cos(2a)(x^{2}+y^{2}+1)+f^{2}x^{2}-1\right)^{2}}{2(1+f^{2})y^{2}(f^{2}+x^{2})+(f^{2}-x^{2})^{2}+(1+f^{2})^{2}y^{4}}$。
• 椭圆平面中椭圆或双曲线的正交等角曲线（α = π/2）是一条椭圆，其方程为：$(1+f^{2})\cos(2a)(x^{2}+y^{2}+1)+f^{2}x^{2}=1$。
• 椭圆抛物线的等角曲线方程为：$\cos(\alpha) = \frac{y(py+1)}{\sqrt{(x^{2}+1)((p^{2}(x^{2}+1)-2py+y^{2}+x^{2}))}}$。
• 椭圆抛物线的正交等角曲线由两条直线组成：$y = 0$ 与 $y = -1/p$。
• 推导出椭圆双曲线等角曲线存在的条件，涉及角度与几何参数：$\alpha \notin I$，其中 $I = \left(\arccos\left(\frac{(1+f^{2})\cos(2a)-1}{f^{2}}\right), \arccos\left(\frac{1-(1+f^{2})\cos(2a)}{f^{2}}\right)\right)$。