[论文解读] Isospectral commuting variety and the Harish-Chandra D-module

Victor Ginzburg|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文建立了哈里什-钱德拉D-模的关联分次模与同谱交换簇的正规化的结构层之间的同构，证明其为科恩-麦克aul伊和格伦斯坦。在$\mathfrak{gl}_n$的情形下，这给出了希尔伯特簇上一个与普罗塞齐丛同构的局部自由层，从而证实了M. 海曼的猜想。

ABSTRACT

Let g be a complex reductive Lie algebra with Cartan algebra h. Hotta and Kashiwara defined a holonomic D-module M, on g x h, called Harish-Chandra module. We give an explicit description of gr(M), the associated graded module with respect to a canonical Hodge filtration on M. The description involves the isospectral commuting variety, a subvariety X of g x g x h x h which is a finite extension of the variety of pairs of commuting elements of g. Our main result establishes an isomorphism of gr(M) with the structure sheaf of the normalization of X. It follows, thanks to the theory of polarized Hodge modules, that the normalization of the isospectral commuting variety is Cohen-Macaulay and Gorenstein, confirming a conjecture of M. Haiman. In the special case where g=gl_n, there is an open subset of the isospectral commuting variety that is closely related to the Hilbert scheme of n points in the plane. The sheaf gr(M) gives rise to a locally free sheaf on the Hilbert scheme. We show that the corresponding vector bundle is isomorphic to the Procesi bundle that plays an important role in the work of M. Haiman.

研究动机与目标

• 描述在$\mathfrak{g} \times \mathfrak{t}$上关于一个典范霍奇滤子的哈里什-钱德拉$\mathcal{D}$-模$\mathcal{M}$的关联分次模$\operatorname{gr} \mathcal{M}$。
• 将$\operatorname{gr} \mathcal{M}$与同谱交换簇$\mathfrak{X} \subset \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \times \mathfrak{t} \times \mathfrak{t}$联系起来，该簇是$\mathfrak{g}$中交换对的簇的有限扩张。
• 证明同谱交换簇的正规化是科恩-麦克aul伊和格伦斯坦的，从而证实M. 海曼的猜想。
• 在$\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$的情形下，建立$\operatorname{gr} \mathcal{M}$与$\mathbb{C}^2$中$n$个点的希尔伯特簇之间的几何联系，将诱导的向量丛识别为普罗塞齐丛。

提出的方法

• 利用在正则$\mathcal{D}$-模$\mathcal{M}$上的霍奇滤子来定义关联分次模$\operatorname{gr} \mathcal{M}$。
• 将同谱交换簇$\mathfrak{X}$构造为交换概形$\mathfrak{C} \subset \mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$的有限覆盖，其参数化带有特征值的交换元素对。
• 应用极化霍奇模理论，推导出$\mathfrak{X}$的正规化是科恩-麦克aul伊和格伦斯坦的。
• 在$\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$的情形下，将$\mathfrak{X}$的一个开子集与$\mathbb{C}^2$中$n$个点的希尔伯特簇相联系，并证明$\operatorname{gr} \mathcal{M}$诱导出一个与普罗塞齐丛同构的局部自由层。
• 利用同构$G \times_{N(T)} \mathfrak{T}^r \xrightarrow{\sim} \mathfrak{C}^{rs}$将$\mathfrak{C}$的整体结构与商$\mathfrak{T}/W$联系起来，并利用此关系分析$\mathfrak{X}$的奇点。
• 通过维数计数及中心化子和根超平面的性质，分析$\mathfrak{C}_{\mathfrak{l}}(\mathfrak{g}) \setminus \mathfrak{C}^{rr}$中奇点集的余维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哈里什-钱德拉$\mathcal{D}$-模的关联分次模$\operatorname{gr} \mathcal{M}$是否同构于同谱交换簇$\mathfrak{X}$的正规化结构层？
• RQ2 同谱交换簇的正规化是否为科恩-麦克aul伊和格伦斯坦的，正如M. 海曼所猜想的？
• RQ3 当$\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$时，$\mathfrak{g} \times \mathfrak{t}$上的层$\operatorname{gr} \mathcal{M}$是否诱导出$\mathbb{C}^2$中$n$个点的希尔伯特簇上的向量丛？
• RQ4 在希尔伯特簇上诱导的向量丛是否同构于普罗塞齐丛？

主要发现

• 关联分次模$\operatorname{gr} \mathcal{M}$同构于同谱交换簇$\mathfrak{X}$的正规化结构层。
• 同谱交换簇的正规化是科恩-麦克aul伊和格伦斯坦的，从而证实了M. 海曼的猜想。
• 在$\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$的情形下，层$\operatorname{gr} \mathcal{M}$在$\mathbb{C}^2$中$n$个点的希尔伯特簇上诱导出一个局部自由层。
• 该局部自由层同构于普罗塞齐丛，这是研究$n!$-猜想与对称函数的关键对象。
• $\mathfrak{C}_{\mathfrak{l}}(\mathfrak{g}) \setminus \mathfrak{C}^{rr}$的奇点集在$\mathfrak{C}(\mathfrak{g})$中的余维数至少为2，对所有标准勒维子代数$\mathfrak{l} \subset \mathfrak{g}$成立，从而确保正规化是良态的。
• 集合$Z = \mathfrak{N}(\mathfrak{l}) + \overset{\circ}{\mathfrak{T}}_{\mathfrak{l}}$包含一个非空的泽里斯基开子集，该子集位于$\mathfrak{C}^{rr}$中，意味着$Z \setminus \mathfrak{C}^{rr}$在$Z$中的余维数$\geq 1$。