[论文解读] Isotopies of high genus Lagrangian surfaces

Richard Hind, Alexander Ivrii|ArXiv.org|Feb 21, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文证明，在辛4-流形中高亏格拉格朗日子流形的充分小邻域内，任何同调于该子流形的拉格朗日子流形均微分同胚于它。通过形变辛形式及余切丛中的有限能量全纯平面，作者证明此类拉格朗日子流形在局部无法形成非平凡的同胚类，从而解决了高亏格 $ g > 1 $ 曲面的阿诺德同胚问题的局部版本。

ABSTRACT

We show that all Lagrangian submanifolds of the cotangent bundle of a Riemann surface which are homotopic to the zero section must be smoothly isotopic to the zero section.

研究动机与目标

• 解决维克托·阿诺德提出的问题：关于辛4-流形中高亏格拉格朗日子流形的局部同胚问题。
• 证明在亏格 $ g > 1 $ 的拉格朗日子流形的充分小邻域内，所有同调于零截面的拉格朗日子流形均微分同胚于零截面。
• 将此前对亏格0和1的结果推广，证明在更高亏格下，局部邻域中不存在非平凡的拉格朗日纽结。
• 建立高亏格拉格朗日子流形的局部同胚类为平凡，尽管在一般辛4-流形中存在同调但不同胚的拉格朗日子流形的全局例子。

提出的方法

• 在余切丛 $ T^*\Sigma $ 上构造一个一参量辛形式族 $ \omega = \Omega_\epsilon $，从标准形式 $ \omega_0 $ 和另一形式 $ \tau $ 变形而来，其中 $ \epsilon $ 充分小。
• 使用莫泽方法，将原始拉格朗日子流形 $ L $ 同胚变形为在管状邻域 $ V $ 内的 $ \Omega_\epsilon $-辛曲面。
• 在单位余切丛的辛化空间中应用有限能量全纯平面理论，利用交点的正性与弗雷德霍姆理论，确保全纯平面在复结构变形下保持存在。
• 通过变形等值面 $ T^r\Sigma $ 中的横截曲线，构造一个 $ \omega $-辛同胚，利用缓慢变化以保持所得曲面的辛性。
• 利用 $ T^*\Sigma $ 的纤维在 $ \omega $ 下具有无限面积的性质，使同胚能保持在零截面的紧邻域内。
• 利用渐近于最小周期的Reeb轨道的有限能量平面的唯一性，确保同胚保持与辛曲面 $ S $ 的横截相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 在辛4-流形中，所有同调于零截面的高亏格 $ g > 1 $ 拉格朗日子流形，在充分小邻域内是否均微分同胚于零截面？
• RQ2 即使在全局存在同调但不同胚的拉格朗日子流形，高亏格拉格朗日子流形的局部同胚类是否仍可为平凡？
• RQ3 有限能量全纯平面具有正交点数是否意味着在辛形变下保持同胚不变性？
• RQ4 能否通过 $ \omega $-辛全纯平面构造一个辛同胚，使其保持与给定辛曲面的横截相交？

主要发现

• 对任意同调于零截面 $ \Sigma $ 的高亏格 $ g > 1 $ 拉格朗日子流形 $ L \subset T^*\Sigma $，存在一个在充分小邻域内的光滑同胚，将其映射至 $ \Sigma $。
• 该同胚通过 $ \omega $-辛曲面实现，确保在标准辛形式的小扰动下，形变保持辛结构。
• 渐近于最小周期Reeb轨道的有限能量全纯平面在几乎复结构形变下保持存在，确保在同伦类中存在唯一全纯平面。
• 若同胚后的平面与辛曲面 $ S $ 存在一个横截交点，结合紧致性与交点正性，可推出同胚可延拓为完整的辛同胚。
• 尽管在 $ \omega $ 下纤维具有无限面积，但通过控制等值面中横截曲线的变化速率，可使同胚保持在零截面的紧邻域内。
• 结果表明，在高亏格拉格朗日子流形的局部邻域中不存在非平凡拉格朗日纽结，推广了此前对亏格0和1的结果。