[论文解读] Isotropy of some quadratic forms and its applications on levels and sublevels of algebras

Cristina Flaut|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2012

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了二次型的各向同性及其对特征不等于2的域上通过Cayley-Dickson过程构造的代数的阶与子阶的影响。研究结果表明，此类代数的阶被2的幂次所限制，并给出了阶等于特定2的幂次的条件，尤其将Pfister型的各向同性与这些代数的结构联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we give some properties of the levels and sublevels of algebras obtained by the Cayley-Dickson process. We will emphasize how isotropy of some quadratic forms can influence the levels and sublevels of algebras obtained by the Cayley-Dickson process.

研究动机与目标

• 分析二次型的各向同性如何影响通过Cayley-Dickson过程生成的代数的阶与子阶。
• 确定Cayley-Dickson代数的阶为2的幂次的充要条件。
• 刻画通过Cayley-Dickson构造得到的除法代数的阶与子阶。
• 将已知的Pfister型与各向同性结果推广至非交换代数。
• 阐明纯子型的各向同性与代数阶之间的关系。

提出的方法

• 利用Cayley-Dickson过程从具有标量对合的基代数构造代数，通过参数 $ \gamma \in K^* $ 在 $ A \oplus A $ 上定义乘法。
• 应用Pfister型 $ \ll a_1, \dots, a_n \gg $，特别是n重Pfister型，分析各向同性与双曲性。
• 使用二次型 $ \varphi $ 的函数域 $ K(\varphi) $ 的概念，其中 $ \varphi $ 变为各向同性。
• 利用迹映射 $ t(a) = a + \overline{a} $ 与范数映射 $ n(a) = a\overline{a} $ 定义代数结构与代数上的二次型。
• 应用Witt理论中的结果，包括Witt指标与子型关系，以确定如 $ 2^k \times T_P $ 与 $ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ 等型的各向同性。
• 依赖[8]与[22]中的定理，将函数域上的各向同性与F-位置的存在性联系起来，并利用此关系推导阶的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Cayley-Dickson代数的阶等于 $ 2^k $？
• RQ2 Pfister型的纯子型的各向同性如何影响所得到代数的阶？
• RQ3 $ 2^k \times T_P $ 的各向同性与 $ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ 的各向同性之间存在何种关系？
• RQ4 Cayley-Dickson代数的阶是否可能超过 $ 2^k $，若可能，其各向同性条件为何？
• RQ5 这些代数的子阶与相关二次型的各向同性之间有何关系？

主要发现

• Cayley-Dickson代数 $ A $ 的阶 $ s(A) $ 满足 $ s(A) \leq 2^k $ 当且仅当型 $ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ 是各向同性的。
• 当 $ k \geq 2 $ 时，$ s(A) \leq 2^k - 1 $ 当且仅当 $ \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ 是各向同性的。
• 若 $ s(A) = 2^k $，则 $ s(A) = 2^k $；若 $ s(A) = 2^k + 1 $，则 $ s(A) = 2^k $ 或 $ s(A) = 2^k + 1 $，具体取决于各向同性条件。
• 当 $ s(A) = 1 $ 时，有 $ s(A) \leq 2 $，且 $ s(A) = 1 $ 当且仅当 $ T_C $ 是各向同性的，或 $ 2 \times T_P $ 是各向同性的。
• 当 $ k \geq t $ 时，若 $ \langle 1 \rangle \perp 2^k \times T_P $ 是各向同性的，则 $ (2^k + 1) \times \langle 1 \rangle \perp (2^k - 1) \times T_P $ 也是各向同性的。
• 阶 $ s(A) $ 总是2的幂次，且每个2的幂次均可在某个适当域上实现为某个Cayley-Dickson代数的阶。