[论文解读] Itô's formula for flows of measures on semimartingales

Xin Guo, Huyên Pham+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2020

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文通过先为柱函数推导该公式并借助逼近与局部化方法，首次为由一般半鞅驱动的概率测度流（包括跳跃扩散过程）建立了伊藤公式的通用形式。关键贡献在于使麦凯恩-弗拉索夫控制问题中跳跃与混合正则-奇异控制的动态规划原理与验证定理成为可能，包括通过测度导数建立最大值原理与动态规划原理之间的一般化关系。

ABSTRACT

We establish Itô's formula along flows of probability measures associated with general semimartingales; this generalizes existing results for flows of measures on Itô processes. Our approach is to first establish Itô's formula for cylindrical functions and then extend it to the general case via function approximation and localization techniques. This general form of Itô's formula enables the derivation of dynamic programming equations and verification theorems for McKean--Vlasov controls with jump diffusions and for McKean--Vlasov mixed regular-singular control problems. It also allows for generalizing the classical relationship between the maximum principle and the dynamic programming principle to the McKean--Vlasov singular control setting, where the adjoint process is expressed in terms of the derivative of the value function with respect to the probability measures.

研究动机与目标

• 为沿一般半鞅（包括跳跃过程）的测度流发展一种通用的伊藤公式，扩展至连续伊藤过程之外的范围。
• 克服现有障碍：针对由不连续半鞅驱动的测度值过程缺乏通用伊藤公式的现状，该问题长期阻碍了麦凯恩-弗拉索夫控制中动态规划方法的应用。
• 使麦凯恩-弗拉索夫控制问题中涉及跳跃扩散与混合正则-奇异控制的动态规划方程与验证定理的推导成为可能。
• 将经典的最大值原理与动态规划原理之间的联系推广至麦凯恩-弗拉索夫奇异控制设定，其中伴随过程通过价值函数关于测度的导数表达。

提出的方法

• 首先针对柱函数（即具有可积形式的光滑平均场函数）建立伊藤公式，利用概率测度空间上线性导数的性质。
• 在联合Wasserstein与欧氏空间的紧集上应用广义Stone–Weierstrass定理，证明柱函数在具有C¹,¹拓扑的二阶连续可微函数空间中是稠密的。
• 通过局部化技术将伊藤公式从柱函数推广至一般函数，确保在适当的可积性与正则性条件下公式成立。
• 在概率测度空间上使用线性导数，以捕捉测度流中跳跃与底层半鞅过程跳跃的无穷小行为。
• 利用具有跳跃扩散与奇异控制的麦凯恩-弗拉索夫SDE的结构，推导相应的伴随方程，并通过所导出的动态规划原理验证最优性。
• 形式上将最大值原理中的FBSDE系统与一个具有奇异控制的辅助平均场博弈系统联系起来，建立MFG与麦凯恩-弗拉索夫控制框架之间的关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 伊藤公式能否被推广至由一般半鞅（包括跳跃过程）驱动的测度流，超越经典伊藤过程设定？
• RQ2 如何为涉及跳跃扩散与混合正则-奇异控制的麦凯恩-弗拉索夫控制问题推导动态规划方程与验证定理？
• RQ3 在麦凯恩-弗拉索夫奇异控制问题背景下，最大值原理与动态规划原理之间的确切关系是什么？
• RQ4 在最大值原理中，伴随过程能否以最优路径上价值函数关于概率测度的导数形式表达？

主要发现

• 通过先证明柱函数情形并借助逼近与局部化方法，为由一般半鞅（包括跳跃扩散）驱动的测度流建立了通用伊藤公式。
• 所导出的伊藤公式使涉及跳跃扩散与混合正则-奇异控制的麦凯恩-弗拉索夫控制问题的动态规划方程与验证定理得以推导。
• 经典的最大值原理与动态规划原理之间的关系被推广至麦凯恩-弗拉索夫奇异控制设定，其中伴随过程被表达为价值函数沿最优路径对测度的导数。
• 在一维均值-方差奇异控制示例中，最优控制被显式推导为依赖于状态及其期望的反馈形式，控制在基于阈值条件的活跃与非活跃区域之间切换。
• 受控过程遵循一种斯科罗霍德型SDE，其奇异控制在边界处反射过程，且通过求解一维斯科罗霍德问题，保证了奇异控制的存在性与唯一性。
• 价值函数被证明具有形式 V(t, μ) = A(t)Var(μ) + B(t)μ̄² + C(t)μ̄ + D(t)，其中显式的时间依赖系数满足一组可解析求解的常微分方程组。