[论文解读] Itô's formula for jump processes in $L_p$-spaces

István Gyöngy, Sizhou Wu|Edinburgh Research Explorer|Apr 29, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文为带跳的随机过程的 $L_p$-范数建立了 Itô 公式，将 Krylov 的 $L_2$-理论推广至 $L_p$-空间（$p \geq 2$）。该文提供了由布朗运动和泊松随机测度驱动的 $|u_t|_{L_p}^p$ 的随机微分，使得能够在 $L_p$-Sobolev 空间中证明带 Lévy 白噪声的 SPDE 的解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

We present an Itô formula for the $L_p$-norm of jump processes having stochastic differentials in $L_p$-spaces. The main results extend well-known theorems of Krylov to the case of processes with jumps, and which can be used to prove existence and uniqueness theorems in $L_p$-spaces for SPDEs driven by Lévy processes.

研究动机与目标

• 将 Krylov 在 $L_2$-空间中的 Itô 公式推广至 $L_p$-空间（$p \geq 2$）并考虑带跳过程。
• 为由布朗运动和泊松鞅测度驱动的 $L_p$-取值半鞅建立随机微积分框架。
• 提供一种工具，用于证明带 Lévy 噪声的 SPDE 在 $L_p$-Sobolev 空间中的解的存在性与唯一性。
• 将 Krylov（2010）的引理 5.1 和定理 2.1 推广至带跳过程。
• 通过新建立的 Itô 公式，为随机积分微分方程获得 $L_p$-范数的先验估计。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{R}^M$-取值半鞅的 Itô 公式和随机 Fubini 定理，推导 $|u_t|_{L_p}^p$ 的随机微分。
• 通过光滑化算子（mollifiers）实施正则化程序，以处理非光滑过程并导出先验估计。
• 利用 Hölder 不等式和 Young 不等式控制 $L_p$-范数下的鞅项与跳项。
• 通过分别估计漂移项、扩散项与跳项，建立解的 $L_p$-范数的有界性。
• 应用随机 Fubini 定理，交换时间、空间与泊松随机测度上的积分顺序。
• 在正则化方程中取光滑化参数 $\varepsilon \to 0$ 的极限，完成极限传递。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Itô 公式从连续半鞅推广至带跳的 $L_p$-取值过程？
• RQ2 当过程包含由泊松随机测度驱动的跳时，$|u_t|_{L_p}^p$ 的正确 Itô 微分形式是什么？
• RQ3 所得到的公式能否用于推导带 Lévy 噪声的 SPDE 在 $L_p$-范数下的先验估计？
• RQ4 $L_p$-范数估计如何依赖于漂移、扩散与跳系数的可积性？
• RQ5 在 $L_p$-Sobolev 空间中，带跳噪声的 SPDE 的解的存在性与唯一性需要满足什么条件？

主要发现

• 本文为带跳的 $L_p$-取值半鞅的 $|u_t|_{L_p}^p$ 建立了新的 Itô 公式，推广了 Krylov 的 $L_2$-结果。
• $|u_t|_{L_p}^p$ 的随机微分包含漂移、扩散与跳项，其显式表达式涉及系数的 $L_p$-范数。
• 导出了先验估计式 (2.6)：$\mathbb{E} \sup_{t \leq T} |u_t|_{L_p}^p \leq C \left( \mathbb{E} |\psi|_{L_p}^p + \mathbb{E} \int_0^T |h_t|_{L_p(\mathcal{L}_p)}^p dt + \cdots \right)$，其中常数 $N = N(p,d)$。
• 该估计依赖于漂移、扩散与跳系数的 $L_p$-范数，且包含时间依赖因子 $T^{(p-2)/2}$ 与 $T^{p-1}$。
• 在正则化方程中取 $\varepsilon \to 0$ 的极限过程，确认了存在一个右连左极的 $L_p$-取值解，其在 $L_p$-意义下满足 SPDE。
• 该方法使得能够在 $L_p$-Sobolev 空间中，对由 Lévy 过程驱动的 SPDE 建立存在性与唯一性结果，如文献 [8] 所示。