[论文解读] It's Not Easy Being Three: The Approximability of Three-Dimensional Stable Matching Problems

Rafail Ostrovsky, Will Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Game Theory and Voting Systems参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文研究三维稳定匹配问题的可近似性，特别是3-GSM（三性别稳定婚姻）和3-PSA（三人稳定分配）问题，证明了最大稳定婚姻（MSM）和最大稳定子婚姻（MSS）变体在常数因子内近似是NP难的。本文提出了一种多项式时间算法，对两个问题均实现了4/9-近似，从而确立了其APX-完全性。

ABSTRACT

In 1976, Knuth asked if the stable marriage problem (SMP) can be generalized to marriages consisting of 3 genders. In 1988, Alkan showed that the natural generalization of SMP to 3 genders ($3$GSM) need not admit a stable marriage. Three years later, Ng and Hirschberg proved that it is NP-complete to determine if given preferences admit a stable marriage. They further prove an analogous result for the $3$ person stable assignment ($3$PSA) problem. In light of Ng and Hirschberg's NP-hardness result for $3$GSM and $3$PSA, we initiate the study of approximate versions of these problems. In particular, we describe two optimization variants of $3$GSM and $3$PSA: maximally stable marriage/matching (MSM) and maximum stable submarriage/submatching (MSS). We show that both variants are NP-hard to approximate within some fixed constant factor. Conversely, we describe a simple polynomial time algorithm which computes constant factor approximations for the maximally stable marriage and matching problems. Thus both variants of MSM are APX-complete.

研究动机与目标

• 为解决三维稳定匹配问题的计算不可解性，这些问题精确求解是NP完全的，如Ng和Hirschberg所证明的。
• 形式化并研究三性别稳定婚姻（3-GSM）和三人稳定分配（3-PSA）的优化变体，特别是最大稳定婚姻（MSM）和最大稳定子婚姻（MSS）。
• 确定这些问题的可近似性极限，尤其是常数因子近似是否可行。
• 弥合三维稳定匹配问题在NP难性与近似算法之间的鸿沟，扩展先前关于不完整偏好和并列偏好（ties）的研究。

提出的方法

• 通过从三维匹配（3DM）问题归约，证明在常数因子内近似3-GMSM和3-GMSS是NP难的。
• 设计一种贪心近似算法（AMSM），根据所选三元组所贡献的不稳定三元组数量最小化来选择三元组。
• 基于鸽巢原理的标记论证，表明每个三元组集合中至少有一个三元组必须满足稳定性条件，从而为稳定三元组提供下界。
• 构建具有不一致排名的偏好结构，以证明即使在受限偏好类型下，近似困难性依然存在。
• 通过在递减的二次项上求和，对贪心解中不稳定三元组的总数进行有界，从而证明4/9-近似因子。
• 通过类似归约和算法设计，将困难性与近似结果扩展至3-PSA问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三性别稳定婚姻问题中，是否能够高效计算最大稳定子婚姻（MSS）问题的常数因子近似？
• RQ2 最大稳定婚姻的4/9-近似因子能否改进，或该因子是否已紧致？
• RQ3 在偏好中加入一致性约束后，3-GSM与3-PSA问题的近似困难性结果是否依然稳健？
• RQ4 在所有偏好配置中，最大稳定子婚姻的最小大小是多少？
• RQ5 4/9-近似算法是否最优，或者能否实现更优的近似比？

主要发现

• 在任何小于1的常数因子内近似三性别最大稳定婚姻（3-G-MSM）问题是NP难的，确立了严格的不可近似界限。
• 一种多项式时间贪心算法（AMSM）对3-G-MSM实现了4/9-近似，证明该问题属于APX类。
• 3-G-MSM问题为APX-完全，意味着它是在APX中可实现常数因子近似的最困难问题之一。
• 相同的4/9-近似结果可推广至三人稳定分配（3-PSA）问题，对应算法为ASA。
• 最大稳定子婚姻（3-G-MSS）问题同样在常数因子内近似是NP难的，尽管未构造出相应的近似算法。
• 困难性结果基于从Max-3DM的归约，而Max-3DM已知为Max-SNP完全，意味着在标准复杂性假设下，常数因子不可近似性是本质性的。