[论文解读] Iterated and Mixed Weak Norms with Applications to Geometric Inequalities

Ting Chen, Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research被引用 12

一句话总结

本文引入了混合范数中的迭代弱范数与混合弱范数，建立了它们的非等价性及不同的收敛性质，并证明了赫尔德不等式仅在特定指标条件下成立。该文将这些工具应用于将 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式推广至混合弱空间，推导出分数阶积分的常规形式与反向形式。

ABSTRACT

In this paper, we consider a new weak norm, iterated weak norm in Lebesgue spaces with mixed norms. We study properties of the mixed weak norm and the iterated weak norm and present the relationship between the two weak norms. Even for the ordinary Lebesgue spaces, the two weak norms are not equivalent and any one of them can not control the other one. We give some convergence and completeness results for both weak norms. We study the convergence in truncated norm, which is a substitution of the convergence in measure for mixed Lebesgue spaces. And we give a characterization of the convergence in truncated norm. We show that Hölder's inequality is not always true on mixed weak spaces and we give a complete characterization of indices which admit Hölder's inequality. As applications, we establish some geometric inequalities related to fractional integration in mixed weak spaces and in iterated weak spaces which essentially generalize the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality.

研究动机与目标

• 定义并研究混合范数 Lebesgue 空间中迭代弱范数与混合弱范数的性质。
• 建立迭代弱范数与混合弱范数在混合 Lebesgue 空间中的非等价性，即使在标准 Lebesgue 空间中亦成立。
• 将截断范数中的收敛性表征为混合 Lebesgue 空间中测度收敛的替代形式。
• 确定赫尔德不等式在混合弱空间中成立的精确指标。
• 通过分数阶积分算子将 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式推广至混合弱空间与迭代弱空间。

提出的方法

• 引入混合弱范数 $\|f\|_{L^{\vec{p},\infty}} := \sup_{\lambda>0} \lambda \| \chi_{\{|f|>\lambda\}} \|_{L^{\vec{p}}} $ 与迭代弱范数 $\|f\|_{L^{p_2}(L^{p_1,\infty})} := \| \|f\|_{L_x^{p_1,\infty}} \|_{L_y^{p_2}} $。
• 分析通过截断层面集定义的截断范数收敛性，并对这种收敛类型提供完整表征。
• 证明赫尔德不等式在一般混合弱空间中不成立，并给出赫尔德不等式成立的指标 $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ 的完整刻画。
• 将理论应用于分数阶积分算子 $L_\gamma f(x,y) = f(x,y)/|x-y|^\gamma$ 与 $T_\gamma f(x,y) = f(x,y)/(|x+y|+|x-y|)^\gamma$，证明其有界性映射至混合弱空间。
• 利用实插值与对称递减重排不等式，推导出当 $0 < p_1, p_2 < 1$ 时的反向 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式。
• 通过对偶性与插值技术建立精确常数与指标条件，包括在主要定理中使用 $L^{p_{1},\infty}(L^{p_{2},\infty})$ 范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合 Lebesgue 空间中，迭代弱范数与混合弱范数是否等价？
• RQ2 赫尔德不等式在混合弱 Lebesgue 空间中于何种条件下成立？
• RQ3 能否通过分数阶积分算子将 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式推广至混合弱空间？
• RQ4 在混合 Lebesgue 空间中，截断范数收敛性的精确表征为何？
• RQ5 当 $0 < p_1, p_2 < 1$ 时，混合弱范数中是否存在反向 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式？

主要发现

• 迭代弱范数与混合弱范数不等价，且在一般情况下彼此不控制，即使在标准 Lebesgue 空间中亦然。
• 赫尔德不等式在混合弱空间中成立当且仅当指标满足 $1/p_1 + 1/p_2 = 1/q_1 + 1/q_2 + \gamma/n$，其中 $\gamma = n(2 - 1/p_1 - 1/p_2)$，否则不等式不成立。
• 分数阶积分算子 $T_\gamma f(x,y) = f(x,y)/(|x+y|+|x-y|)^\gamma$ 满足 $\|T_\gamma f\|_{L^{\vec{q},\infty}} \lesssim \|f\|_{L^{\vec{p},\infty}}$ 仅当 $1/p_1 + 1/p_2 = 1/q_1 + 1/q_2 + \gamma/n$ 成立，且该条件是精确的。
• 经典 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式作为定理 3.4 主要结果的特例被恢复，且当 $0 < p_1, p_2 < 1$ 时的反向不等式通过插值与重排技术得以建立。
• 截断范数收敛性被表征为等价于混合 Lebesgue 空间中的测度收敛性，且对迭代与混合弱范数均证明了完备性结果。
• 当 $0 < p_1, p_2 < 1$ 时，反向 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式成立，满足 $\|T^{-1}_\gamma(f \otimes g)\|_{L^1(L^1)} \gtrsim \|f\|_{L^{p_1}}\|g\|_{L^{p_2}}$，该结论通过插值与对称递减重排方法得以证明。