[论文解读] Iterated endomorphisms of Abelian algebraic groups

Rafe Jones, Jeremy Rouse|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文引入了一个“树状”伽罗瓦表示 ω，该表示结合了 ℓ-进和库默尔型伽罗瓦数据，用于研究在全局域 F 上的阿贝尔代数群 A 中，对点 α 进行 ℓ 的迭代乘法下预像的性质。它刻画了 ω 何时是满射，并计算了满足 α 模 p 的阶与 ℓ 互素的素数 p 的密度；例如，当 F 是一个数域，A 是一个具有满射 2-进表示的椭圆曲线，且 α ∉ 2A(F(A[4])) 时，具有奇数阶约化的素数的密度为 11/21。

ABSTRACT

Abstract. Given an abelian algebraic group A over a global field F, α ∈ A(F), and a prime ℓ, the set of all preimages of α under some iterate of [ℓ] has a natural tree structure. Using this data, we construct an “arboreal ” Galois representation ω whose image combines that of the usual ℓ-adic representation and the Galois group of a certain Kummer-type extension. For several classes of A, we give a simple characterization of when ω is surjective. The image of ω also encodes information about the density of primes p in K such that the order of the reduction mod p of α is prime to ℓ. We compute this density in the general case for several A of interest. For example, if F is a number field, A/F is an elliptic curve with surjective 2-adic representation and α ∈ A(F), with α ̸ ∈ 2A(F(A[4])), then the density of primes p with α mod p having odd order is 11/21. 1.

研究动机与目标

• 构建一个新的伽罗瓦表示 ω，统一 ℓ-进和库默尔型伽罗瓦作用于 ℓ 的迭代乘法下点的预像上。
• 刻画在各种阿贝尔代数群 A 的情形下，该树状表示 ω 何时是满射。
• 计算满足 α 模 p 的阶与 ℓ 互素的素数 p 的自然密度，特别是在椭圆曲线等具有算术意义的情形下。
• 为特定类别的阿贝尔簇（包括具有满射 2-进表示的椭圆曲线）提供明确的密度结果。

提出的方法

• 在 A(Ḟ) 中所有 α 在 ℓ 的迭代乘法下的预像集合上定义树结构。
• 将树状伽罗瓦表示 ω 构造为该预像树上的伽罗瓦作用，结合 ℓ-进和库默尔理论数据。
• 利用 ω 的像来编码关于满足 α 模 p 的阶与 ℓ 互素的素数 p 的密度信息。
• 应用类域论和伽罗瓦理论技术分析 ω 的像，并推导其满射性条件。
• 利用已知的 ℓ-进表示和库默尔扩张结果，在特定情形下计算密度。
• 聚焦于具有满射 2-进表示的椭圆曲线及对 α 的条件，推导出 11/21 的密度结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿贝尔代数群 A 定义于全局域 F 上且给定素数 ℓ 的条件下，树状伽罗瓦表示 ω 在何种条件下是满射？
• RQ2 ω 的像如何编码关于满足 α 模 p 的阶与 ℓ 互素的素数 p 的密度信息？
• RQ3 满足 α 模 p 的约化阶与 ℓ 互素的素数 p 的精确自然密度是多少，特别是在具有满射 2-进表示的椭圆曲线情形下？
• RQ4 条件 α ∉ 2A(F(A[4])) 如何影响具有奇数阶约化的素数的密度？
• RQ5 树状表示 ω 是否可用于计算椭圆曲线以外其他类阿贝尔簇中的显式密度？

主要发现

• 树状伽罗瓦表示 ω 被构造为 ℓ 的迭代乘法下点的预像树上的伽罗瓦作用，结合了 ℓ-进和库默尔理论数据。
• 对于具有满射 2-进表示且 α ∉ 2A(F(A[4])) 的数域 F 上的椭圆曲线 A，满足 α 模 p 的阶为奇数的素数 p 的密度恰好为 11/21。
• ω 的像编码了满足 α 模 p 的阶与 ℓ 互素的素数 p 的密度信息，从而在多种情形下可实现显式计算。
• 本文为具有合适 ℓ-进和库默尔理论性质的阿贝尔簇情形，提供了一种计算该密度的一般方法。
• 根据 ℓ-主挠子群结构和由 ℓ 次单位根生成的库默尔扩张的结构，对若干类阿贝尔代数群刻画了 ω 的满射性。
• 该构造提供了一个统一框架，将 ℓ-进伽罗瓦表示与模素数约化下点的算术性质联系起来。