[论文解读] Iterated function systems with the average shadowing property

Mehdi Fatehi Nia|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文研究了迭代函数系统（IFS）中的平均阴影性质，证明了均匀收缩的IFS及其共轭或乘积系统均具有该性质。关键贡献在于表明：若一个紧致度量空间上的连续满射IFS具有平均阴影性质，则该空间中每个点都是链递归的——尽管反之不成立，文中通过圆周上的IFS示例说明，即使所有点都是链递归的，系统也可能不具有平均阴影性质。

ABSTRACT

The average shadowing property is considered for set-valued dynamical systems, generated by parameterized IFS, which are uniformly contracting, or conjugacy, or products of such ones. We also prove that if a continuous surjective IFS F on a compact metric space X has the aver- age shadowing property, then every point x is chain recurrent. Moreover, we introduce some examples and investigate the relationship between the original shadowing property and shadowing property for IFS. For example, this is proved that the Sierpinski IFS has the average shadowing property. Then we shows that there is an IFS F on S1 such that F does not sat- isfy the average shadowing property but every point x in S1 is a chain recurrent.

研究动机与目标

• 将平均阴影性质的概念从单个映射扩展到参数化的迭代函数系统（IFS）。
• 建立IFS——尤其是均匀收缩、共轭或乘积系统——具有平均阴影性质的条件。
• 澄清平均阴影性质与IFS中链递归性的关系，特别是后者是否蕴含前者。

提出的方法

• 通过轨道上距离的Cesàro型平均，定义IFS的平均伪轨道与平均阴影性质。
• 利用均匀收缩IFS的概念，即族中每个映射均一致收缩距离，来证明平均阴影性质。
• 应用符号动力系统与拓扑动力系统的结果，包括移位空间与轨道结构的使用。
• 在R、R²、Σ₂和S¹上构造IFS的显式例子，以说明理论结果。
• 利用共轭与乘积构造方法，将平均阴影性质从基本IFS推广到更复杂的系统。
• 采用链递归集的定义，分析在小扰动下可被链式返回自身的点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，参数化IFS具有平均阴影性质？
• RQ2 平均阴影性质在IFS的共轭或乘积构造下是否保持不变？
• RQ3 平均阴影性质是否意味着空间中每个点都是链递归的？
• RQ4 能否存在一个IFS，其所有点均为链递归，但不满足平均阴影性质？
• RQ5 是否存在显式构造的IFS，其不满足平均阴影性质，但所有点均为链递归？

主要发现

• 在紧致度量空间上的每个均匀收缩IFS都具有平均阴影性质。
• Sierpinski IFS作为均匀收缩IFS的特例，满足平均阴影性质。
• 若一个紧致度量空间上的连续满射IFS具有平均阴影性质，则该空间中每个点都是链递归的。
• 存在一个在圆周S¹上的IFS，其不满足平均阴影性质，但S¹中每个点都是链递归的。
• 构造了一个在S¹上的显式IFS，其动力系统是极小的且链递归的，但因非一致收缩与轨道行为，平均阴影性质不成立。
• 由移位型映射f₀与f₁生成的Cantor空间Σ₂上的IFS是均匀收缩的，因此具有平均阴影性质，其迭代Fᵏ（k > 1）亦然。