[论文解读] Iterated homotopy fixed points for the Lubin-Tate spectrum, with an Appendix: An example of a discrete G-spectrum that is not hyperfibrant

Daniel G. Davis, Ben Wieland|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文为卢比尼-塔特谱 $E_n$ 关于闭正规子群 $H \trianglelefteq K \leq G_n$ 的迭代同伦固定点谱构造了新方法，其中 $G_n$ 是扩展的莫拉瓦稳定子群。证明了 $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$，将德文茨与霍普金斯的结果推广至非有限商群 $K/H$ 的情形，方法基于博斯菲尔德局部化与连续 $G$-谱理论。

ABSTRACT

When G is a profinite group and H and K are closed subgroups, with H normal in K, it is not known, in general, how to form the iterated homotopy fixed point spectrum (Z^{hH})^{hK/H}, where Z is a continuous G-spectrum and all group actions are to be continuous. However, we show that, if G=G_n, the extended Morava stabilizer group, and Z=L_{K(n)}(E_n \wedge X), where L_{K(n)} is Bousfield localization with respect to Morava K-theory, E_n is the Lubin-Tate spectrum, and X is any spectrum with trivial G_n-action, then the iterated homotopy fixed point spectrum can always be constructed. Also, we show that (E_n^{hH})^{hK/H} is just E_n^{hK}, extending a result of Devinatz and Hopkins.

研究动机与目标

• 解决当 $H$ 在 $K$ 中不为开子群时，对连续 $G$-谱 $Z$ 构造迭代同伦固定点谱 $(Z^{hH})^{hK/H}$ 的问题，特别是针对拟紧 $G$-谱的情形。
• 将已知等价式 $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ 推广至 $K/H$ 为拟紧的情形，而不仅限于有限商群。
• 通过 $K(n)$-局部化，为在色数同伦理论中形成迭代同伦固定点提供一个通用框架。
• 证明 $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 是一个连续 $K/H$-谱，从而实现迭代同伦固定点的构造。
• 构造一个非超纤维化的离散 $G$-谱，回答等变稳定同伦论中关于超纤维化条件局限性的问题。

提出的方法

• 使用博斯菲尔德局部化 $\widehat{L} = L_{K(n)}$ 构造 $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$，使其成为具有对角 $K/H$-作用的连续 $K/H$-谱。
• 应用 [2] 中的连续 $G$-谱理论，将同伦固定点定义为总右导出函子。
• 利用文献 [4] 中已建立的结果 $E_n^{hK} \simeq E_n^{dhK}$（对所有闭子群 $K \leq G_n$ 成立），将所构造的迭代固定点与已知的 $K$-固定点联系起来。
• 构造一个 $\mathbb{Z}_q$-等变同构 $\pi_0(X^{h\mathbb{Z}/p}) \cong \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 以分析模结构。
• 利用 $G$-等变单射 $i: \mathbb{Z}_q \to \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 证明该乘积不是离散 $\mathbb{Z}_q$-模，从而证明非超纤维性。
• 通过作用的连续性导出矛盾：若该乘积是离散 $\mathbb{Z}_q$-模，则 $\mathbb{Z}_q$ 将成为离散 $\mathbb{Z}_q$-集合，但事实并非如此。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $H$ 在 $K$ 中不为开子群时，能否对连续 $G$-谱 $Z$ 构造迭代同伦固定点谱 $(Z^{hH})^{hK/H}$？
• RQ2 当 $K/H$ 为拟紧而非有限时，等价式 $(E_n^{hH})^{hK/H} \simeq E_n^{hK}$ 是否仍然成立？
• RQ3 是否存在一个离散 $G$-谱不是超纤维化的？若存在，能否显式构造？
• RQ4 $E_n^{dhH}$ 上的 $K/H$-作用能否提升为 $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 上的连续 $K/H$-谱结构？
• RQ5 $\prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 是否为离散 $\mathbb{Z}_q$-模？这对超纤维化条件意味着什么？

主要发现

• 谱 $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 是一个具有对角 $K/H$-作用的连续 $K/H$-谱，从而支持迭代同伦固定点的构造。
• 即使 $K/H$ 为拟紧，迭代同伦固定点谱 $(E_n^{hH})^{hK/H}$ 仍与 $E_n^{hK}$ 同伦等价。
• $\pi_0(X^{h\mathbb{Z}/p}) \cong \prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 上的 $\mathbb{Z}_q$-作用不是离散的，这意味着谱 $X$ 不是超纤维化的。
• $\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X)$ 作为连续 $K/H$-谱的构造，使得可以应用 [2] 中的理论来定义 $(\widehat{L}(E_n^{dhH} \wedge X))^{hK/H}$。
• 通过作用的连续性导出矛盾，证明了乘积 $\prod_{n \geq 0} \mathbb{Z}/p[\mathbb{Z}/q^n]$ 不是离散 $\mathbb{Z}_q$-模。
• 显式构造了一个非超纤维化的离散 $G$-谱，解决了等变稳定同伦论中的一个开放问题。