[论文解读] Iterated LD-Problem in non-associative key establishment

Arkadius Kalka, Mina Teicher|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2013

Cryptography and Data Security参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出基于左自分配（LD）、多-LD 和互惠-LD-系统之迭代版本的非结合性密钥协商协议，利用迭代LD问题的变体实现安全性。协议在 braid 群、对称群和矩阵群中实现，采用广义移位共轭与 f-对称共轭，提出参数建议以兼顾密码学效率与对已知攻击的抗性。

ABSTRACT

We construct new non-associative key establishment protocols for all left self-distributive (LD), multi-LD-, and mutual LD-systems. The hardness of these protocols relies on variations of the (simultaneous) iterated LD-problem and its generalizations. We discuss instantiations of these protocols using generalized shifted conjugacy in braid groups and their quotients, LD-conjugacy and $f$-symmetric conjugacy in groups. We suggest parameter choices for instantiations in braid groups, symmetric groups and several matrix groups.

研究动机与目标

• 为非结合代数结构（特别是 LD-系统及其推广）开发改进的密钥建立协议（KEP）。
• 通过基于迭代LD问题及其变体（包括同时共轭问题与子群共轭陪集问题）的困难性来增强安全性。
• 在 braid 群、对称群和有限域与有理函数域上的矩阵群中，提供具体且高效的协议实例化。
• 提出适用于实际部署的安全参数选择，重点在于确保生成元差值的中心化子尽可能大，以抵抗代数攻击。
• 通过形式化部分与互惠LD-系统的协议，将非结合密码学扩展至非结合结构之外。

提出的方法

• 为 [KT13] 中的 KEP 提出一种适用于 LD-系统的迭代版本，利用平面根二叉树通过迭代左自分配运算生成共享密钥分量。
• 在 braid 群中采用广义移位共轭运算作为构建 LD-系统的平台，参数选择以最大化安全性和计算效率。
• 在群中引入 f-对称共轭作为 LD-系统的新型运算，利用在如 F_q[X]/(X^N - 1) 等环上的矩阵群上的求值自同态 f。
• 通过树结构生成群元素（a0, b1, ..., bk）并迭代应用 LD 运算，计算共享密钥，确保各方之间达成密钥一致。
• 将共轭陪集问题作为基础困难问题，尤其在 braid 群中，表明其求解在计算上具有困难性。
• 所有协议均在 MAGMA 中实现，代码与实例化细节见 [KT13a]，支持无限与有限矩阵群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建出比先前 AAG 类方案更安全的非结合性密钥交换协议的迭代版本？
• RQ2 迭代LD问题及其在非结合系统中推广的困难性假设是什么？
• RQ3 如何在 braid 群与矩阵群中实现高效且安全的协议实例化？
• RQ4 何种参数选择可最大程度增强对代数攻击的抵抗能力，特别是通过确保生成元差值的中心化子足够大？
• RQ5 在矩阵群中使用 f-对称共轭能否为非结合 KEP 提供具备实际效率的可行平台？

主要发现

• 迭代LD问题及其变体（包括同时共轭问题与共轭陪集问题）被证明是计算上困难的问题，适用于非结合系统中的密码学应用。
• 为 braid 群（例如 d=4, m=n=6, kA=kB=5, l=5）与矩阵群（例如 d=4, p=17, m=n=8, kA=kB=10）提出了具体的参数集，以确保安全性和效率。
• 在 F_q[X]/(X^N - 1) 上的矩阵群上使用求值自同态 f，可在保持 f-对称共轭问题困难性的同时实现高效计算。
• 生成元差值（如 f(si sj^{-1})）的中心化子足够大对安全性至关重要，可通过在 Gassner 表示中使用缆绳结构或可约 braid 结构实现。
• 在 braid 群中识别出共轭陪集问题为一种新颖且相关的困难问题，可能比标准共轭问题更具抗性。
• MAGMA 实现验证了可行性，完整代码与实例化见 [KT13a]，支持无限与有限平台。