[论文解读] Iterated line graphs with only negative eigenvalues $-2$, their complements and energy

Harishchandra S. Ramane, B. Parvathalu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2022

Graph theory and applications被引用 6

一句话总结

本文表征了所有负特征值均为−2的迭代线图𝒮ℒᵏ(G)（k ≥ 1），推导出其能量以及补图的谱，并证明这些补图恰好有两个正特征值。此外，通过使用基于等分划分的商矩阵方法，将能量对称性结果从正则图推广至更广范围，构造出一大类等能量图。

ABSTRACT

The graphs with all equal negative or positive eigenvalues are special kind in the spectral graph theory. In this article, several iterated line graphs $\mathcal{L}^k(G)$ with all equal negative eigenvalues $-2$ are characterized for $k\ge 1$ and their energy consequences are presented. Also, the spectra and the energy of complement of these graphs are obtained, interestingly they have exactly two positive eigenvalues with different multiplicities. Moreover, we characterize a large class of equienergetic graphs which generalize some of the existing results. There are two different quotient matrices defined for an equitable partition of $H$-join (generalized composition) of regular graphs to find the spectrum (partial) of adjacency matrix, Laplacian matrix and signless Laplacian matrix, it has been proved that these two quotient matrices give the same respective spectrum of graphs.

研究动机与目标

• 表征所有满足k ≥ 1且所有负特征值均为−2的迭代线图𝒮ℒᵏ(G)。
• 计算此类图的补图的能量与谱，揭示其恰好有两个正特征值。
• 通过构造一大类非正则等能量图，推广现有等能量图结果。
• 将能量对称性性质𝒪(Ḡ) = 𝒪(G)从正则图推广至具有−2特征值性质的非正则迭代线图。
• 建立独立数的界，并确定满足−2特征值性质且其补图也连通的连通图的最小阶。

提出的方法

• 利用正则图的H-join（广义复合）的等分划分，为邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵定义两个商矩阵。
• 证明两个商矩阵对三种矩阵类型均产生相同的部分谱，从而实现高效的谱计算。
• 应用邻接矩阵与无符号拉普拉斯矩阵之间的谱关系，将−2特征值条件重述为Q-特征值属于[2, ∞) ∪ {0}。
• 利用能量公式𝒪(G) = Σ|λᵢ|计算迭代线图及其补图的能量，借助已知的特征值重数。
• 使用SageMath对特定图族的谱与能量结果进行验证。
• 应用不等式n⁻(G) ≤ n₀ − α(G)推导𝒮ℒᵏ(G)与Ḡ(𝒮ℒᵏ(G))的独立数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些满足k ≥ 1的迭代线图𝒮ℒᵏ(G)具有所有负特征值等于−2？
• RQ2 此类迭代线图的补图的谱与能量为何？
• RQ3 在何种条件下，扩展图Ebd(𝒮ℒᵏ(G))与Ebd(Ḡ(𝒮ℒᵏ(G)))是等能量的？
• RQ4 能否将能量对称性𝒪(Ḡ) = 𝒪(G)推广至所有特征值为−2的非正则迭代线图？
• RQ5 满足𝒮ℒ(G)具有−2特征值性质且Ḡ(G)连通的连通图G的最小阶是多少？

主要发现

• 对所有k ≥ 1的迭代线图𝒮ℒᵏ(G)，若其所有负特征值均为−2，则其特征值−2的重数为mₖ₋₁ − nₖ₋₁。
• 此类图的补图恰好有两个正特征值，且重数不同，其谱可显式计算。
• 𝒮ℒᵏ(G)的能量为2(3mₖ₋₁ − 2nₖ₋₁)，其补图的能量为2(2(λ̄ₖ(₁) + 1) + 3mₖ₋₁ − 4nₖ₋₁)，其中λ̄ₖ(₁)为补图的最大特征值。
• 当且仅当λ̄ₖ(₁) = nₖ₋₁ − 1时，图Ebd(𝒮ℒᵏ(G))与Ebd(Ḡ(𝒮ℒᵏ(G)))是等能量的，这等价于n⁻(Ḡ(𝒮ℒᵏ(G))) = nₖ₋₁ − 1。
• 𝒮ℒᵏ(G)的独立数上界为nₖ₋₁，Ḡ(𝒮ℒᵏ(G))的独立数上界为n⁻(𝒮ℒᵏ(G)) + 1。
• 通过穷举搜索验证，满足𝒮ℒ(G)具有−2特征值性质且Ḡ(G)连通的最小连通图G的阶为7（已验证至阶6）。