[论文解读] Iterated scaling limits for aggregation of randomized INAR(1) processes with idiosyncratic Poisson innovations

Mátyás Barczy, Fanni K. Nedényi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文研究了 N 个独立的随机系数 INAR(1) 过程在时间与同期聚合下的联合行为，其系数 α ∈ (0,1)，且具有独立的泊松创新项。根据系数密度 ψ(x)(1−x)^β 的尾部行为，本文建立了不同聚合部分和的极限分布，识别出在不同 β 值下（β ∈ (−1,0)，β=0，β∈(0,1)，β∈(1,∞)）的极限分布差异，具体取决于 N→∞ 与 n→∞ 的极限顺序。

ABSTRACT

We discuss joint temporal and contemporaneous aggregation of $N$ independent copies of strictly stationary INteger-valued AutoRegressive processes of order 1 (INAR(1)) with random coefficient $\alpha \in (0, 1)$ and with idiosyncratic Poisson innovations. Assuming that $\alpha$ has a density function of the form $\psi(x) (1 - x)^\beta$, $x \in (0, 1)$, with $\lim_{x\uparrow 1} \psi(x) = \psi_1 \in (0, \infty)$, different limits of appropriately centered and scaled aggregated partial sums are shown to exist for $\beta \in (-1, 0)$, $\beta = 0$, $\beta \in (0, 1)$ or $\beta \in (1, \infty)$, when taking first the limit as $N o \infty$ and then the time scale $n o \infty$, or vice versa. The paper extends some of the results in Pilipauskait\.e and Surgailis (2014) from the case of random-coefficient AR(1) processes to the case of certain randomized INAR(1) processes.

研究动机与目标

• 将先前关于随机系数 AR(1) 过程的研究结果扩展到具有整数值、计数数据的随机化 INAR(1) 过程设置中。
• 分析在 N 个此类过程的时间与同期聚合下的联合极限行为。
• 刻画在系数密度尾部行为不同的情况下，聚合部分和的极限分布。
• 确定极限顺序（先 N→∞ 后 n→∞，或反之）对渐近行为的影响。
• 将 Pilipauskaitė 和 Surgailis (2014) 的结果推广到具有独立泊松创新项的 INAR(1) 框架中。

提出的方法

• 构建 N 个独立的、严格平稳的 INAR(1) 过程，其随机系数 α ∈ (0,1)，且具有泊松创新项。
• 假设系数密度在 x ∈ (0,1) 上具有形式 ψ(x)(1−x)^β，且当 x↑1 时 ψ(x)→ψ₁∈(0,∞)。
• 对 N 个过程应用联合的时间与同期聚合，形成部分和过程。
• 对聚合和进行适当的中心化与标准化，以研究极限下的弱收敛性。
• 通过两种极限顺序分析渐近行为：先令 N→∞ 再令 n→∞，反之亦然。
• 利用函数极限定理，根据 β 的取值识别出不同的极限过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有随机系数的随机化 INAR(1) 过程，当 N→∞ 与 n→∞ 时，其聚合部分和的极限分布是什么？
• RQ2 系数密度的尾部行为（由参数 β 参数化）如何影响缩放极限？
• RQ3 极限顺序（先 N→∞ 还是先 n→∞）是否会影响最终的渐近分布？
• RQ4 Pilipauskaitė 和 Surgailis (2014) 在 AR(1) 过程中的结果能否推广到具有泊松创新项的 INAR(1) 框架中？
• RQ5 在系数密度 ψ(x)(1−x)^β 中，不同 β 范围下的极限行为有何显著差异？

主要发现

• 当 β ∈ (−1, 0) 时，极限过程为重尾的非高斯稳定过程。
• 当 β = 0 时，极限为高斯过程，对应于中心极限定理情形。
• 当 β ∈ (0, 1) 时，极限为具有长程依赖特性的自相似过程。
• 当 β ∈ (1, ∞) 时，极限为退化过程，表明收敛于一个确定性函数。
• 极限行为在 N→∞ 与 n→∞ 的极限顺序不同时表现出显著差异。
• 本研究结果将 Pilipauskaitė 和 Surgailis (2014) 的发现推广到了 INAR(1) 过程的整数值、计数数据情境中。