[论文解读] Iteration and the Minimal Resultant

Kenneth Jacobs, Phillip Williams|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文刻画了在非阿基米德域上满足迭代最小结果式遵循关于次数和迭代次数的简单幂律公式的有理映射。通过几何不变量理论与贝里科维奇空间动力系统，证明该现象恰好发生在映射对所有迭代均具有半稳定约化且约化位于奇点集 $I(d)$ 之外时，其应用包括阿拉凯洛夫-格林函数与拉蒂斯映射。

ABSTRACT

Let $K$ be an algebraically closed field that is complete with respect to a non-Archimedean absolute value, and let $φ\in K(z)$ have degree $d\geq 2$. We characterize maps for which the minimal resultant of an iterate $φ^n$ is given by a simple formula in terms of $d$, $n$, and the minimal resultant of $φ$. We show that such maps are precisely those with reduction outside of an indeterminacy locus $I(d)$ and which also have semi-stable reduction for every iterate $φ^n$. We give two equivalent ways of describing such maps, one measure theoretic and the other in terms of the moduli space $\mathcal{M}_d$ of degree $d$ rational maps. As an application, we are able to give an explicit formula for the minimal value of the diagonal Arakelov-Green's function of a map satisfying the conditions of the main theorem. We illustrate our results with some explicit calculations in the case of the Lattès maps.

研究动机与目标

• 确定迭代 $\varphi^n$ 的最小结果是否满足关于 $d$、$n$ 和 $R_{[\varphi]}$ 的简单公式。
• 识别最小结果在迭代下表现可预测的动力学与几何条件。
• 将最小结果支集与贝里科维奇射影线上平衡测度及其重心联系起来。
• 将结果应用于计算满足该最小结果公式的映射的对角阿拉凯洛夫-格林函数的最小值。
• 提供显式例子，包括拉蒂斯映射，以说明公式成立与不成立的情形。

提出的方法

• 使用有理映射的正规化提升，并将结果式赋值 $R_\varphi$ 定义为共轭不变量。
• 应用几何不变量理论，将结果式的最小性与半稳定约化及奇点集 $I(d)$ 联系起来。
• 采用贝里科维奇空间技术分析平衡测度 $\mu_\varphi$ 及其重心。
• 引入德马尔科等人提出的两种“剩余”测度，以研究迭代下的约化行为。
• 建立最小结果公式与两个几何条件的等价性：最小结果支集的稳定性，以及 $I(d)$ 中无重心点。
• 将结果应用于通过塔特定曲线与拉蒂斯映射上的显式计算，求解对角阿拉凯洛夫-格林函数的最小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\varphi^n$ 的最小结果满足 $R_{[\varphi^n]} = \frac{d^n(d^n-1)}{d(d-1)} R_{[\varphi]}$？
• RQ2 半稳定约化与奇点集 $I(d)$ 如何影响最小结果在迭代下的行为？
• RQ3 平衡测度 $\mu_\varphi$ 的重心与最小结果支集之间有何关系？
• RQ4 对于满足最小结果公式的映射，其对角阿拉凯洛夫-格林函数的最小值能否显式计算？
• RQ5 为何偶次乘法的拉蒂斯映射不满足最小结果公式，而奇次的却满足？

主要发现

• 当且仅当 $\varphi$ 对所有迭代均具有半稳定约化且其约化位于奇点集 $I(d)$ 之外时，$\varphi^n$ 的最小结果满足简单公式 $R_{[\varphi^n]} = \frac{d^n(d^n-1)}{d(d-1)} R_{[\varphi]}$。
• 对于奇数 $m$ 的拉蒂斯映射 $\psi_m$，最小结果公式成立；对于偶数 $m$，公式不成立，原因在于迭代过程中最小结果支集发生变化。
• 对于 $\varphi_2$（塔特定曲线上乘法-by-2映射），对角阿拉凯洛夫-格林函数的最小值为 $\frac{1}{12}\log_v|q|$，通过内森-塔特点高度与伯努利多项式计算得出。
• 当等价条件成立时，$\varphi$ 的最小结果支集包含于 $\varphi^n$ 的最小结果支集中，例如在 $\mathbb{C}_v$ 上的映射 $\varphi(z) = \frac{z^p - z}{p}$ 的情形。
• $\varphi(z) = \frac{z^p - z}{p}$ 的平衡测度 $\mu_\varphi$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 上的哈尔测度，其重心对应一个约化位于 $I(d)$ 之外的共轭，满足定理条件。
• 显式计算表明，偶次拉蒂斯映射的最小结果公式不成立，因为最小结果支集随每次迭代而改变，导致无法存在具有半稳定约化的统一共轭。