[论文解读] Iteration Complexity of Variational Quantum Algorithms

Vyacheslav Kungurtsev, Georgios Korpas+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文在近场量子硬件中常见的噪声且有偏的量子评估条件下，为变分量子算法（VQAs）建立了迭代复杂度保证。尽管噪声会降低梯度估计质量，作者证明收敛速率保持不变，但偏差会增加与稳定性的渐近距离，并恶化收敛常数。

ABSTRACT

There has been much recent interest in near-term applications of quantum computers, i.e., using quantum circuits that have short decoherence times due to hardware limitations. Variational quantum algorithms (VQA), wherein an optimization algorithm implemented on a classical computer evaluates a parametrized quantum circuit as an objective function, are a leading framework in this space. An enormous breadth of algorithms in this framework have been proposed for solving a range of problems in machine learning, forecasting, applied physics, and combinatorial optimization, among others. In this paper, we analyze the iteration complexity of VQA, that is, the number of steps that VQA requires until its iterates satisfy a surrogate measure of optimality. We argue that although VQA procedures incorporate algorithms that can, in the idealized case, be modeled as classic procedures in the optimization literature, the particular nature of noise in near-term devices invalidates the claim of applicability of off-the-shelf analyses of these algorithms. Specifically, noise makes the evaluations of the objective function via quantum circuits biased. Commonly used optimization procedures, such as SPSA and the parameter shift rule, can thus be seen as derivative-free optimization algorithms with biased function evaluations, for which there are currently no iteration complexity guarantees in the literature. We derive the missing guarantees and find that the rate of convergence is unaffected. However, the level of bias contributes unfavorably to both the constant therein, and the asymptotic distance to stationarity, i.e., the more bias, the farther one is guaranteed, at best, to reach a stationary point of the VQA objective.

研究动机与目标

• 通过在现实噪声条件下提供迭代复杂度保证，填补变分量子算法（VQAs）理论理解中的关键空白。
• 分析由于近期硬件限制导致的量子线路评估中的偏差，如何影响VQAs中使用的无导数优化方法的收敛性。
• 在噪声函数评估下，比较SPSA、两点函数近似（2PFA）和参数位移规则（PSR）在收敛速率和渐近偏差方面的性能。
• 建立尽管收敛速率不受偏差影响，但渐近误差和收敛常数随偏差增加而恶化的理论结论。
• 为SPSA在VQA中表现出的实证成功提供理论依据，尽管其在经典设置中表现次优。

提出的方法

• 将VQA优化建模为一种受量子噪声影响的有偏函数评估的随机无导数问题。
• 将经典零阶随机优化的收敛性分析方法适配至量子线路中的有偏评估。
• 推导SPSA和2PFA在有偏函数评估下的迭代复杂度边界，表明其收敛速率与标准随机梯度下降一致。
• 通过理论分析量化偏差对收敛常数和渐近稳定点误差的影响。
• 通过数值实验比较SPSA、2PFA和PSR在不同扰动大小（c）和步长（α）下的表现，测量收敛速度和目标值稳定性。
• 分析扰动大小（影响偏差和方差）与步长之间的权衡，以确定收敛质量和鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子线路评估中的偏差如何影响VQA中无导数优化方法的迭代复杂度？
• RQ2 SPSA和2PFA在有偏函数评估下收敛速率是否会退化，还是即使存在噪声仍能保持不变？
• RQ3 偏差水平如何影响VQA优化中与稳定点的渐近距离？
• RQ4 对于SPSA和2PFA，扰动大小与步长之间存在何种权衡，以决定收敛质量和鲁棒性？
• RQ5 为何SPSA在实践中优于2PFA，尽管其在经典设置中表现次优？这与偏差和方差有何关联？

主要发现

• 在有偏函数评估下，SPSA和2PFA在VQAs中的收敛速率得以保持，与标准随机梯度下降的速率一致。
• 量子评估中的偏差增加了与稳定性的渐近距离，意味着算法收敛至离真实最优解更远的点。
• 偏差越大，收敛界中的常数越大，恶化了收敛速率的乘法因子。
• 在高偏差环境下，SPSA的收敛速度优于2PFA，尤其是在大扰动条件下，尽管其方差更高。
• 在小扰动和大步长条件下，SPSA在速度与鲁棒性之间实现了良好平衡，其稳定性与收敛质量优于2PFA。
• 参数位移规则（PSR）在特定情况下可提供精确梯度，但其性能局限于狭窄的电路类别，而SPSA在噪声条件下仍具广泛适用性。