[论文解读] Iteration theory of $L$-index and Multiplicity of brake orbits

Chungen Lıu, Duanzhi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文為辛几何中与拉格朗日子空间相关的Maslov型指标建立了一套新的迭代理论，并将其应用于证明在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中的 $C^2$ 有界凸对称超曲面上，至少存在 $\left[\frac{n}{2}\right]+1$ 个几何上互异的刹车轨道，若所有轨道均为非退化，则至少存在 $n$ 个。在一般条件下，该结果为Seifert于1948年提出的猜想提供了肯定回答。

ABSTRACT

In this paper, we first establish the Bott-type iteration formulas and some abstract precise iteration formulas of the Maslov-type index theory associated with a Lagrangian subspace for symplectic paths. As an application, we prove that there exist at least $[\frac{n}{2}]+1$ geometrically distinct brake orbits on every $C^2$ compact convex symmetric hypersurface $Σ$ in $\mathbb{R}^{2n}$ satisfying the reversible condition $NΣ=Σ$, furthermore, if all brake orbits on this hypersurface are nondegenerate, then there are at least $n$ geometrically distinct brake orbits on it. As a consequence, we show that there exist at least $[\frac{n}{2}]+1$ geometrically distinct brake orbits in every bounded convex symmetric domain in $\mathbb{R}^{n}$, furthermore, if all brake orbits in this domain are nondegenerate, then there are at least $n$ geometrically distinct brake orbits in it. In the symmetric case, we give a positive answer to the Seifert conjecture of 1948 under a generic condition.

研究动机与目标

• 为辛路径中与拉格朗日子空间相关的Maslov型指标发展一套完整的迭代理论。
• 将该理论应用于自治哈密顿系统在凸对称区域中的刹车轨道问题。
• 在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中有界凸对称超曲面上建立几何上互异刹车轨道数量的下界。
• 在一般非退化条件下，为Seifert于1948年提出的关于多重刹车轨道存在的猜想提供肯定回答。
• 通过指标迭代公式与拓扑不变量，将闭特征的结果推广至刹车轨道。

提出的方法

• 推导与拉格朗日子空间相关的Maslov型指标沿辛路径的Bott型及抽象精确迭代公式。
• 利用 $L_0$-指标理论与 $L_1$-指标理论分析刹车轨道附近线性化系统的性质。
• 应用 $\phi$-映射构造与单射性论证，将指标值与轨道重数关联。
• 利用可逆对称性条件 $N\Sigma = \Sigma$ 与哈密顿函数 $H$ 满足 $H(Nx) = H(x)$ 的结构定义动力系统。
• 通过最小周期归一化与轨道的等价类定义 $\tilde{\mathcal{J}}_b(\Sigma)$ 中的几何互异性。
• 利用谱与指标不变量如 $i_{L_0}$, $\nu_{L_0}$ 与 $S_M^+(1)$，通过指标迭代序列控制轨道重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 与拉格朗日子空间相关的Maslov型指标沿辛路径的精确迭代行为是什么？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^{2n}$ 中的 $C^2$ 有界凸对称超曲面上，存在多少个几何上互异的刹车轨道？
• RQ3 在一般非退化条件下，能否证实Seifert于1948年提出的关于刹车轨道最小数量的猜想？
• RQ4 $L_0$-指标及其迭代在控制刹车轨道重数方面起什么作用？
• RQ5 可逆对称性 $N\Sigma = \Sigma$ 如何影响轨道集的结构及其指标理论不变量？

主要发现

• 在任意满足 $N\Sigma = \Sigma$ 的 $C^2$ 有界凸对称超曲面 $\Sigma \subset \mathbb{R}^{2n}$ 上，至少存在 $\left[\frac{n}{2}\right]+1$ 个几何上互异的刹车轨道。
• 若此类超曲面上的所有刹车轨道均为非退化，则至少存在 $n$ 个几何上互异的刹车轨道。
• 该结果可推广至 $\mathbb{R}^n$ 中的有界凸对称区域，在其中至少存在 $\left[\frac{n}{2}\right]+1$ 个几何上互异的刹车轨道。
• 在非退化条件下，有界凸对称区域中几何上互异的刹车轨道数量至少为 $n$。
• 证明通过 $\phi$-映射上的指标迭代与单射性论证，确立了 $\#\tilde{\mathcal{J}}_b(\Sigma) \geq \left[\frac{n}{2}\right]+1$。
• 在非退化情形下，有 $\#\tilde{\mathcal{J}}_b(\Sigma) \geq n + \mathfrak{A}(\Sigma)$，其中 $\mathfrak{A}(\Sigma)$ 计数非对称轨道，从而确认了更强的重数结果。