[论文解读] Iteration theory of Maslov-type index associated with a Lagrangian subspace for symplectic paths and Multiplicity of brake orbits in bounded convex symmetric domains

Chungen Lıu, Duanzhi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文为辛路径上与拉格朗日子空间相关的Maslov型指标建立了新的迭代公式，并将其应用于证明：在满足 $N\Sigma = \Sigma$ 的 $\mathbb{R}^{2n}$ 中 $C^2$ 紧致凸对称超曲面 $\Sigma$ 上，至少存在 $[\frac{n}{2}]+1$ 个几何上互异的刹车轨道；若所有轨道均为非退化，则存在 $n$ 个这样的轨道——在一般非退化条件下，为Seifert于1948年提出的猜想提供了肯定回答。

ABSTRACT

In this paper, we first establish the Bott-type iteration formulas and some abstract precise iteration formulas of the Maslov-type index theory associated with a Lagrangian subspace for symplectic paths. As an application, we prove that there exist at least $[\frac{n}{2}]+1$ geometrically distinct brake orbits on every $C^2$ compact convex symmetric hypersurface $\Sigma$ in $\mathbb{R}^{2n}$ satisfying the reversible condition $N\Sigma=\Sigma$, furthermore, if all brake orbits on this hypersurface are nondegenerate, then there are at least $n$ geometrically distinct brake orbits on it. As a consequence, we show that there exist at least $[\frac{n}{2}]+1$ geometrically distinct brake orbits in every bounded convex symmetric domain in $\mathbb{R}^{n}$, furthermore, if all brake orbits in this domain are nondegenerate, then there are at least $n$ geometrically distinct brake orbits in it. In the symmetric case, we give a positive answer to the Seifert conjecture of 1948 under a generic condition.

研究动机与目标

• 为沿辛路径与拉格朗日子空间相关的Maslov型指标建立精确的迭代公式。
• 将这些公式应用于研究有界凸对称区域内刹车轨道的多重性。
• 在一般非退化条件下，为Seifert于1948年提出的关于多重刹车轨道存在的猜想提供肯定回答。
• 建立 $\mathbb{R}^{2n}$ 中对称凸超曲面上几何上互异刹车轨道数量的下界。

提出的方法

• 在拉格朗日子空间背景下，推导出Bott型与抽象精确的Maslov型指标迭代公式。
• 将这些迭代公式应用于与哈密顿系统在凸超曲面上相关的辛路径。
• 利用可逆条件 $N\Sigma = \Sigma$ 来利用动力系统的对称性，并约束刹车轨道的结构。
• 通过Maslov型指标及其迭代行为，将多重性问题转化为指标理论估计。
• 运用拓扑与变分方法，将指标性质与轨道的几何多重性联系起来。
• 引入一般非退化条件，以确保轨道计数的精确下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 沿辛路径与拉格朗日子空间相关的Maslov型指标的精确迭代行为是什么？
• RQ2 在满足 $N\Sigma = \Sigma$ 的 $\mathbb{R}^{2n}$ 中 $C^2$ 紧致凸对称超曲面 $\Sigma$ 上，存在多少个几何上互异的刹车轨道？
• RQ3 在非退化条件下，有界凸对称区域内几何上互异刹车轨道的最小数量是多少？
• RQ4 Seifert关于多重刹车轨道存在的猜想在一般非退化条件下是否成立？
• RQ5 Maslov型指标的迭代理论能否用于推导对称动力系统的精确多重性估计？

主要发现

• 在每个满足 $N\Sigma = \Sigma$ 的 $\mathbb{R}^{2n}$ 中 $C^2$ 紧致凸对称超曲面 $\Sigma$ 上，至少存在 $[\frac{n}{2}]+1$ 个几何上互异的刹车轨道。
• 若此类超曲面上的所有刹车轨道均为非退化，则至少存在 $n$ 个几何上互异的刹车轨道。
• 由于边界与内部区域的动力学等价，这些多重性下界对 $\mathbb{R}^{2n}$ 中任意有界凸对称区域均成立。
• 结果在一般非退化条件下为Seifert于1948年提出的猜想提供了肯定回答。
• 所建立的迭代公式是通过指标理论分析推导这些多重性结果的关键工具。
• 本研究在辛拓扑、指标理论与对称凸系统中动力多重性之间建立了强有力的联系。