[论文解读] Iterative Compression-Decimation Scheme for Tensor Network Optimization

Zhi-Cheng Yang, Stefanos Kourtis+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Tensor decomposition and applications被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于在规则晶格上的广义顶点模型中优化张量网络的迭代压缩-去粗化算法，该方法不依赖于平移不变性或边界条件。通过在局部约束传播（通过收缩-分解遍历）与晶格去粗化之间交替进行，该方法控制张量维度，并实现了对大型系统的完整张量迹的精确计算，成功计算了基态熵密度，并解决了经典上难以处理的可逆计算问题。

ABSTRACT

Motivated by statistical physics models connected to computation problems, we devise a tensor network technique that is suited to problems with or without translation invariance and with arbitrary boundary conditions. We introduce a compression-decimation algorithm as an efficient iterative scheme to optimize tensor networks that encode generalized vertex models on regular lattices. The algorithm first propagates local constraints to longer ranges via repeated contraction-decomposition sweeps over all lattice bonds, thus achieving compression on a given length scale. It then decimates the lattice via coarse-graining tensor contractions. Repeated iterations of these two steps allow us to gradually collapse the tensor network while keeping the tensor dimensions under control, such that ultimately the full tensor trace can be taken for relatively large systems. As a benchmark, we demonstrate the efficiency of the algorithm by computing the ground state entropy density of the planar ice model and the eight-vertex model. We then apply it to reversible classical computational problems based on a recently proposed vertex model representation of classical computations [Nat. Commun. 8, 15303 (2017)]. Our protocol allows us to obtain the exact number of solutions for computations where a naive enumeration would take astronomically long times, suggesting that the algorithm is a promising practical tool for the solution of a plethora of problems in physics and computer science.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有任意边界条件且无需平移不变性的系统的张量网络优化方法。
• 解决在大型系统中张量网络收缩过程中张量秩增长难以控制的挑战。
• 实现对大到无法直接枚举的系统，其张量迹的精确计算。
• 将张量网络技术扩展至统计物理和可逆经典计算中的问题。
• 提供一种实用的迭代方案，在复杂模型中平衡精度与计算可行性。

提出的方法

• 该算法在所有晶格键上重复执行收缩-分解遍历，以将局部约束传播至更长距离，从而在给定长度尺度上实现压缩。
• 通过张量收缩实施去粗化，以减少晶格规模，同时保留关键信息。
• 该过程在迭代循环中交替进行压缩（约束传播）与去粗化（晶格缩减）。
• 通过迭代优化，控制张量维度，最终实现完整的张量迹评估。
• 该方法被应用于广义顶点模型，包括平面冰模型和八顶点模型，以及可逆经典计算的表示形式。
• 该算法设计为可扩展且高效，避免计算成本的指数级增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种张量网络方法，使其适用于既具有平移不变性又具有非不变性的系统，且具有任意边界条件？
• RQ2 如何优化张量网络收缩，以在迭代计算过程中保持张量维度的可控性？
• RQ3 该迭代压缩-去粗化方案是否能实现在直接枚举不可行的大系统中张量迹的精确计算？
• RQ4 该方法在多大程度上能够解决经典上难以处理的可逆计算问题？
• RQ5 该算法在显著降低计算成本的同时，是否能保持对复杂顶点模型的精度？

主要发现

• 该算法成功计算了大晶格上平面冰模型和八顶点模型的基态熵密度。
• 它实现了对原本需通过朴素枚举耗费天文时间才能解决的可逆经典计算问题的精确解计数。
• 该方法在整个迭代步骤中保持了受控的张量维度，使得对相对较大的系统能够实现完整的张量迹评估。
• 压缩-去粗化循环有效传播了约束并减小了系统规模，同时未造成显著的精度损失。
• 该方法具有通用性，适用于统计物理和计算机科学中的广泛模型类别，包括无平移不变性的模型。
• 结果表明，该算法在解决标准枚举技术无法处理的计算难题方面具有实际应用价值。