[论文解读] Iterative Volume-of-Fluid interface positioning in general polyhedrons with Consecutive Cubic Spline interpolation

Tomislav Marić|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2020

Fluid Dynamics and Heat Transfer参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文提出了一种名为连续三次样条插值（Consecutive Cubic Spline, CCS）的算法，这是一种在非结构化多面体网格单元中高效迭代定位平面界面的计算方法，适用于体积分数法（VOF）方法。通过复用现有的几何数据，并采用基于三次样条插值的两点根求解方法，CCS算法在体积分数接近0或1的极端情况下，仍能以平均仅两次迭代收敛至10−12的精度，显著优于现有方法，在计算效率和实现便捷性方面表现突出。

ABSTRACT

A straightforward and computationally efficient Consecutive Cubic Spline (CCS) iterative algorithm is proposed for positioning the planar interface of the unstructured geometrical Volume-of-Fluid method in arbitrarily-shaped cells. The CCS algorithm is a two-point root-finding algorithm specifically designed for the VOF interface positioning problem, where the volume fraction function has diminishing derivatives at the ends of the search interval. As a two-point iterative algorithm, CCS re-uses function values and derivatives from previous iterations and does not rely on interval bracketing. The CCS algorithm only requires only two iterations on average to position the interface with a tolerance of $10^{-12}$, even with numerically very challenging volume fraction values, e.g. near $10^{-9}$ or $1-10^{-9}$. The proposed CCS algorithm is very straightforward to implement because its input is already calculated by every geometrical VOF method. It builds upon and significantly improves the predictive Newton method and is independent of the cell's geometrical model and related intersection algorithm. Geometrical parametrizations of truncated volumes used by other contemporary methods are completely avoided. The computational efficiency is comparable in terms of the number of iterations to the fastest methods reported so far. References are provided in the results section to the open-source implementation of the CCS algorithm and the performance measurement data.

研究动机与目标

• 为一般非结构化多面体网格单元中的体积分数法（VOF）方法，开发一种计算高效且鲁棒的界面定位算法。
• 解决界面定位过程中计算成本高和数值不稳定的问题，尤其针对接近0或1的极端体积分数情况。
• 消除先前方法中对截断体积复杂几何参数化的依赖。
• 提供一种高效且易于集成到现有几何VOF求解器中的方法，无需修改单元数据结构。

提出的方法

• CCS算法采用沿单元法向方向的标量参数化方式，将界面位置映射为沿单元法向的标量s。
• 将界面定位问题建模为函数˜α(s) = αc(s) − αc的根求解任务，其中αc(s)为s的函数，表示归一化的截断体积。
• 采用基于连续三次样条插值的两点迭代根求解方案，复用前一次迭代中的函数值与导数值，以加速收敛。
• 避免区间夹逼，并且无需对截断体积进行几何参数化，仅依赖标准VOF方法中已计算出的体积分数与单元几何信息。
• 该算法能够处理区间边界（smin和smax）处导数趋近于零的情况，这类情况在VOF方法中因体积截断的固有特性而常见。
• 算法与底层单元几何结构和交线计算算法无关，因此可兼容任意非结构化网格与单元模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种简单、迭代式的界面定位算法，使其在体积分数接近0或1时仍保持高精度与高效率？
• RQ2 与牛顿法、布伦特法及CIBRAVE方法相比，所提出的CCS算法在收敛速度与鲁棒性方面表现如何？
• RQ3 在不引入复杂几何参数化的情况下，能否显著减少体积截断操作的次数？
• RQ4 该算法能否仅使用求解器中已有的数据，对现有几何VOF代码进行最小改动即可实现？
• RQ5 缺乏几何参数化是否能显著降低计算成本并提升缓存效率？

主要发现

• CCS算法在体积分数极端（如10−9或1−10−9）时，仍能以平均仅两次迭代收敛至10−12的精度。
• 在收敛速度与鲁棒性方面，CCS算法优于牛顿法、布伦特法及稳定化割线-二分法。
• CCS算法在平均截断体积操作次数上与性能最佳的CIBRAVE方法相当，但无需复杂的几何参数化。
• 该算法计算效率高且高度可移植，无需修改现有单元数据结构或网格连接关系。
• CPU时间分布分析表明，计算开销主要来自体积截断操作，因此通过CCS减少截断次数可带来显著性能提升。
• 即使当单元法向与某一面法向共线时（此情况常导致多数传统方法失效），该算法仍保持鲁棒性，通过算法中特殊情形处理机制实现。