[论文解读] Ito and Stratonovich calculuses in stochastic field theory

Juha Honkonen|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过基于传播子初始值和确定性项的选择，推导出两种不同的动态作用量——分别对应伊藤和伏拉托诺维奇解释——从而解决了随机场论功能积分表述中的歧义。结果表明，两种形式在微扰计算中给出等价解，而伊藤作用量因结构更清晰且无虚假环图，更适合非微扰计算。

ABSTRACT

Ambiguities in the functional-integral solution of the stochastic differential equation (SDE) arising due to the definition on the functional Jacobi determinant and the white-in-time limit in the noise are analyzed and two forms of the de Dominicis-Janssen dynamic action proposed corresponding to the Ito and Stratonovich interpretations of the SDE.

研究动机与目标

• 解决由功能雅可比行列式和白噪声引起的随机微分方程（SDE）功能积分解中的歧义。
• 阐明带白噪声的朗之万方程的数学不一致性及其对路径积分表述的影响。
• 建立伊藤与伏拉托诺维奇解释下构造动态作用量的统一框架。
• 证明传播子初始值（Δ(0)）和确定性项的选择决定了动态作用量的形式。
• 表明尽管微扰解是等价的，但伊藤形式更适用于非微扰计算。

提出的方法

• 从SDE的功能积分表示出发，通过M的迹对数的环展开引入雅可比行列式，推导出德·多米尼克斯-詹森动态作用量。
• 引入两种在Δ(0)取值上不同的动态作用量：伊藤对应Δ(0) = 0，伏拉托诺维奇对应Δ(0) = ½δ(x−x′)，分别对应SDE的不同解释。
• 利用福克-普朗克方程和算子方法，将动态作用量与底层随机过程联系起来。
• 应用伊藤-伏拉托诺维奇对应关系变换动态作用量，识别出伊藤形式中额外的项ΔS = ½ φ̃b′Db。
• 通过在φ和共轭场φ̃上进行泛函积分构造生成泛函，其中噪声场f具有零均值高斯统计特性。
• 证明来自行列式项的虚假环图与顶点贡献相互抵消，从而恢复正确的迭代解。

实验结果

研究问题

• RQ1 SDE功能积分表述中的歧义如何由功能雅可比行列式和白噪声引起？
• RQ2 传播子初始值Δ(0)在决定动态作用量形式中起什么作用？
• RQ3 同一SDE的伊藤与伏拉托诺维奇解释如何导致不同的动态作用量？
• RQ4 为何伊藤形式的动态作用量比伏拉托诺维奇形式更适合非微扰计算？
• RQ5 连接伊藤与伏拉托诺维奇作用量的校正项ΔS的精确数学结构是什么？

主要发现

• SDE的功能积分解在雅可比行列式上表现出歧义，该歧义与噪声统计无关，并且即使在确定性方程中也会出现。
• 由时间白噪声引起的歧义导致两种不同的解释：伊藤与伏拉托诺维奇，各自对应不同的动态作用量。
• 伊藤动态作用量为 S′[φ,φ̃,f] = −½fD⁻¹f + φ̃[−∂tφ − Kφ + U(φ) + ½b′Db + fb(φ)]，其中Δ(0) = 0。
• 伏拉托诺维奇动态作用量为 S′′[φ,φ̃,f] = −½[U′(φ) + ¼b′Db′ + b′f] − ½fD⁻¹f + φ̃[−∂tφ − Kφ + U(φ) + fb(φ)]，其中Δ(0) = ½δ(x−x′)。
• 两种动态作用量在微扰解中完全等价，因为来自行列式项的虚假环图与顶点贡献相互抵消。
• 由于结构更简洁且无虚假项，伊藤形式在诸如瞬子微积分或数值积分等非微扰方法中更具可靠性。