[论文解读] Iwasawa Main Conjecture for Supersingular Elliptic Curves

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 28

一句话总结

该论文通过将其约化为更易处理的 Iwasawa-Greenberg 主猜想，利用 Beilinson-Flach 元素的显式互惠律，证明了在 $a_p = 0$ 时的上同调奇异椭圆曲线的 $±$-主猜想。该研究确立了在奇异素数处解析秩为 0 或 1 时的 BSD 公式 $p$-部分。

ABSTRACT

In this paper we prove the $\pm$-main conjecture formulated by Kobayashi for elliptic curves with supersingular reduction at $p$ such that $a_p=0$, using a new idea of reducing it to another Iwasawa-Greenberg main conjecture, which is more accessible and proved here as a first step. Then we develop some generalized $\pm$ local theory and deduce the main conjecture. The argument uses in an essential way the recent study on explicit reciprocity law for Beilinson-Flach elements by Kings-Loeffler-Zerbes. We also prove as corollaries the $p$-part of the BSD formula at supersingular primes when the analytic rank is $0$ or $1$.

研究动机与目标

• 证明在 $a_p = 0$ 的奇异素数 $p$ 处，上同调奇异椭圆曲线的 $±$-主猜想。
• 通过新颖的结构论证，将 $±$-主猜想约化为更易处理的 Iwasawa-Greenberg 主猜想。
• 为证明框架开发广义的 $±$-局部理论。
• 在解析秩为 0 或 1 时，确立上同调奇异情形下的 BSD 公式 $p$-部分。

提出的方法

• 通过新颖的结构论证，将 $±$-主猜想约化为 Iwasawa-Greenberg 主猜想。
• 应用 Kings-Loeffler-Zerbes 最近工作中关于 Beilinson-Flach 元素的显式互惠律。
• 为处理奇异情形而开发广义的 $±$-局部理论。
• 在非临界斜率 $p$-进 $L$-函数的背景下，运用 $p$-进 $L$-函数与 Iwasawa 理论。
• 利用 Beilinson-Flach 元素构造合适的欧拉系，以控制 Selmer 群。
• 通过控制定理与 $±$-构造的相容性，确立主猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $a_p = 0$ 的上同调奇异椭圆曲线的 $±$-主猜想约化为更易处理的 Iwasawa-Greenberg 主猜想？
• RQ2 如何在奇异情形下应用 Beilinson-Flach 元素的显式互惠律来证明主猜想？
• RQ3 为将方法推广至奇异情形，需要何种广义的 $±$-局部理论？
• RQ4 $±$-主猜想是否蕴含在奇异素数处解析秩为 0 或 1 时的 BSD 公式 $p$-部分？
• RQ5 在奇异情形下，$±$-主猜想与 Iwasawa-Greenberg 主猜想之间的确切关系为何？

主要发现

• 通过将其约化为 Iwasawa-Greenberg 主猜想，证明了在 $a_p = 0$ 时上同调奇异椭圆曲线的 $±$-主猜想。
• 该证明关键依赖于 Kings、Loeffler 和 Zerbes 建立的 Beilinson-Flach 元素的显式互惠律。
• 为处理奇异素数处的非典型情形，开发了广义的 $±$-局部理论。
• 在奇异素数处解析秩为 0 或 1 时，BSD 公式 $p$-部分得到确认。
• 主猜想在指定解析秩情形下蕴含 BSD 的 $p$-部分，提供了重要的算术应用。