[论文解读] Iwasawa Theory for Symmetric Squares of Non-$p$-Ordinary Eigenforms

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文为非 $p$-平凡特征形式且满足 $a_p(f) = 0$ 的对称平方动机建立了积分符号贝利尼-弗拉奇欧拉系统，证明了整数与解析 Iwasawa 主猜想中的一个包含关系。通过一种新颖的非整值贝利尼-弗拉奇元素分解方法，构造了双重符号上同调类，作者利用欧拉系统工具与 $p$-进 $L$-函数，在非零与算术假设下证明了分析主猜想中的整除性关系。

ABSTRACT

Let $f$ be a normalized cuspidal eigen-newform of level coprime to $p$ with $a_p(f)=0$. We formulate both integral signed Iwasawa main conjectures and analytic Iwasawa man conjectures attached to the symmetric square motive of $f$ twisted by an auxiliary Dirichlet character. We show that the Beilinson--Flach elements attached to the symmetric square motive factorize into integral signed Beilinson--Flach elements, giving evidence towards the existence a rank-two Euler system predicted by Perrin-Riou. We use these integral elements to prove one inclusion in the integral and analytic Iwasawa main conjectures.

研究动机与目标

• 为满足 $a_p(f) = 0$ 的非 $p$-平凡特征形式的对称平方动机，制定并证明整数与分析 Iwasawa 主猜想中的一个包含关系。
• 通过克服非平凡情形下的非整性障碍，从非整值贝利尼-弗拉奇元素构造一个积分的、双重符号的欧拉系统。
• 建立贝利尼-弗拉奇类的分解，使其化为符号分量，验证欧拉系统分布关系，并在整个临界范围内插值 $p$-进 $L$-函数。
• 利用欧拉系统与整体对偶性，证明分析 Iwasawa 主猜想中的整除性陈述，将 Selmer 群与 $p$-进 $L$-函数联系起来。
• 在对称平方动机的背景下，为 Perrin-Riou 的高阶欧拉系统猜想提供证据。

提出的方法

• 在 $H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), W_f^* \otimes W_f^*(1+\chi) \otimes H_{E,k+1}(\Gamma)^\iota)$ 中构造扭曲的贝利尼-弗拉奇类，其中 $\chi$ 为偶数狄利克雷特征。
• 通过一种新方法将非整值贝利尼-弗拉奇类分解为四类符号类 $BF^+, BF^-, BF^\bullet, BF^\circ$，从而扩展插值的临界范围。
• 利用符号科尔曼映射与局部受限的欧拉系统工具，定义符号 Selmer 条件，并证明符号类满足欧拉系统分布关系。
• 应用整体 Poitou–Tate 对偶性与互惠律，将符号类与 $p$-进 $L$-函数关联，并界定分析 Selmer 群。
• 通过结合 Selmer 群特征理想上的界与 $p$-进 $L$-函数的插值性，建立分析主猜想中的整除性关系。
• 利用 $(\phi, \Gamma)$-模理论与贝利尼-弗拉奇类的线性无关性，分析分析 Selmer 群与特征理想的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为满足 $a_p(f) = 0$ 的非 $p$-平凡特征形式的对称平方动机构造一个积分的、双重符号的欧拉系统？
• RQ2 贝利尼-弗拉奇元素的符号分量分解是否可扩展至对称平方 $L$-函数的整个临界范围？
• RQ3 能否利用所构造的欧拉系统证明 $\text{Sym}^2 f \otimes \chi^{-1}$ 的分析 Iwasawa 主猜想中的整除性？
• RQ4 在何种条件下，$p$-进 $L$-函数的非零性可推出符号欧拉系统的非平凡性？
• RQ5 符号科尔曼映射与 Selmer 条件如何相互作用，以实现对 Iwasawa 模结构的精细控制？

主要发现

• 作者在 $H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), W_f^* \otimes W_f^*(1+\chi))$ 中构造了四类符号上同调类 $BF^+_m,\chi, BF^-_m,\chi, BF^\bullet_\cdot,\chi, BF^\circ_m,\chi$，它们满足欧拉系统分布关系。
• 存在一个与 $m$ 无关的整数 $C$，使得对所有 $\clubsuit \in \{+, -, \bullet, \circ\}$，有 $C \cdot BF^\clubsuit_{m,\chi} \in H^1_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}(m), R_f^* \otimes R_f^*(1+\chi))$，从而保证了整性。
• 类 $BF^\circ_m,\chi$ 对所有 $m$ 恒为零，而其余三类类生成 $\text{Sym}^2 R_f^*(1+\chi)$ 的秩一欧拉系统。
• 符号类 $C \cdot BF^+_m,\chi, C \cdot BF^-_m,\chi, C \cdot BF^\bullet_m,\chi$ 构成 $\text{Sym}^2 R_f^*(1+\chi)$ 的（秩一）欧拉系统。
• 在假设 $(\text{NV}), (\Psi_1), (\Psi_2), (\text{Im})$ 下，若 $\text{Col}^{\clubsuit \circ\text{resp}}(BF^{\spadesuit}_{1,\chi})$ 非零，则欧拉系统非平凡。
• 本文证明了分析 Iwasawa 主猜想中的整除性关系：$\text{char}_H(e\omega_j eH^2_{\text{Iw}}(\mathbb{Q}, V, D_\lambda^\chi)) \mid \text{char}_H(e\omega_j coker(\text{Col}^\clubsuit)) \cdot e\omega_j L_p^{\text{geom}}(\text{Sym}^2 f_\lambda \otimes \chi^{-1})$，作为 $H$ 上的理想。