[论文解读] Jacobian Newton Polyhedra and equisingularity

Bernard Teissier|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文引入了复超曲面奇点的新不变量——雅可比诺顿多边形 $\nu_j([X_0])$，该不变量源自由 $f$ 及一般线性函数定义的映射中判别式支集的诺顿多面体。证明了 $\nu_j([X_0])$ 在等奇点形变下保持不变，使其成为一般 $i$-平面截面整体拓扑类型的稳健不变量。

ABSTRACT

This is the LaTeX version of the handwritten notes of a lecture at the Kyoto Singularities Symposium held at the RIMS in April 1978. It presents the relationship of various invariants of isolated singularities of complex analytic hypersurfaces with the jacobian Newton polygon built from the polar curves. An appendix presents features of the semiring of Newton polygons, because the product of Jacobian Newton polygons corresponds to the Thom-Sebastiani sum of hypersurfaces. Analogies between mixed multiplicities and mixed volumes are noticed. They have been explained since.

研究动机与目标

• 定义复超曲面奇点的不变量，使其在等奇点形变下保持不变。
• 通过诺顿多面体将经典的米尔诺数 $\mu$ 推广为更精细的不变量。
• 将多种几何不变量（如重数与交数）统一为一个取值于幺半群的不变量。
• 建立 $\nu_j([X_0])$ 捕获超曲面一般 $i$-平面截面整体拓扑类型的结论。
• 提供一个几何框架，通过雅可比理想将诺顿多面体、判别式与等奇点性联系起来。

提出的方法

• 定义映射 $p: (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^{k+1},0)$ 的判别式 $D \subset \mathbb{C}^{k+1}$，其中 $t = f$，$u_i = g_i$，$g_i$ 为一般线性函数。
• 在坐标 $(t, u_1, \dots, u_k)$ 中构造判别超曲面 $D$ 的诺顿多边形 $N(D)$。
• 当 $k=1$ 时，将 $\nu_j([X_0])$ 表示为分数 $\frac{e_q}{m_q}$ 的和，其中 $e_q$ 为交点重数，$m_q$ 为临界曲线 $\partial f / \partial z_2 = \cdots = \partial f / \partial z_n = 0$ 的不可约分支的重数。
• 证明 $\nu_j([X_0]) = \nu_{j(f)}(\mathfrak{m})$，其中 $j(f)$ 为雅可比理想，$\mathfrak{m}$ 为极大理想。
• 利用诺顿多边形的幺半群结构，将 $\nu_j([X_0])$ 解释为与坐标选择无关的几何不变量。
• 通过证明当一般 $i$-平面截面的整体拓扑类型保持不变时，$\nu_j([X_0])$ 保持不变，从而证明其在等奇点形变下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 米尔诺数 $\mu$ 是否可推广为一个更精细的不变量，以捕捉高余维情形下的等奇点性？
• RQ2 映射 $p: (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^{k+1},0)$ 的判别式诺顿多面体如何编码超曲面的几何不变量？
• RQ3 诺顿多边形 $\nu_j([X_0])$ 是否在超曲面的等奇点形变下保持不变？
• RQ4 $\nu_j([X_0])$ 与一般 $i$-平面截面的米尔诺数序列 $\mu^{(i)}$ 之间存在何种关系？
• RQ5 诺顿多面体的幺半群能否用于统一重数、混合重数与理想积分闭包等不变量？

主要发现

• 不变量 $\nu_j([X_0])$ 定义为映射 $p: (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^2,0)$ 的判别式的诺顿多边形，其中 $t = f$，$u = z_1$，其表达式为 $\sum \frac{e_q}{m_q}$，其中 $e_q$ 为交点重数，$m_q$ 为临界曲线第 $q$ 个分支的重数。
• $\nu_j([X_0])$ 与一般线性函数 $z_1$ 的选择无关，且等于 $\nu_{j(f)}(\mathfrak{m})$，表明其内在性质。
• 在一般 $i$-平面截面整体拓扑类型保持不变的形变族中，不变量 $\nu_j([X_0])$ 保持不变。
• $\nu_j([X_0])$ 的不变性意味着其为等奇点性的良好不变量，因为在保持所有一般 $i$-平面截面拓扑类型的形变下均保持不变。
• 整体拓扑类型保持不变的条件等价于序列 $\mu^*(X_s) = (\mu^{(n)}, \dots, \mu^{(0)})$ 的不变性，而该条件蕴含 $\nu_j([X_s])$ 的不变性。
• 该构造为诺顿多面体的幺半群提供了几何解释，通过交点理论与理想理论将其与混合重数及积分闭包联系起来。