[论文解读] Jacques Peyrière et les produits de Riesz

Jean‐Pierre Kahane|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 3

一句话总结

这篇由让-皮埃尔·卡恩撰写的论文对雅克·佩里埃在里斯积理论方面的奠基性工作进行了全面回顾，重点探讨其在调和分析、分形几何以及sidon集理论中的作用。论文分析了在系数满足特定条件时，里斯积测度之间的互不奇异性和绝对连续性，通过遍历平均方法建立了维数界限，并强调了佩里埃在阿贝尔群中构造具有极端性质的准独立集方面的开创性方法。

ABSTRACT

Jacques Peyrière investigated Riesz products associated with a given set of frequencies and the corresponding coefficients : mutual singularity or absolute continuity of the measures defined by two such products, Hausdorff dimensions of the sets carrying such measures, multifractal analysis. The present expository paper starts from Peyrière's results and give some new ways to investigate the same questions. Since Riesz products are also an essential tool for Sidon sets, the characterisations of Sidon sets by Pisier and Bourgain, using quasi-independent sets, are given and commented. The paper ends with an elementary construction of a <> quasi-independent set. The paper is in French. An introduction, in English, explains why it will not be published in the book to which it was intended to contribute.

研究动机与目标

• 系统梳理并分析雅克·佩里埃在里斯积理论领域对调和分析、测度论及分形几何的深远贡献。
• 建立里斯积测度 $ \mu_a $ 与 $ \mu_b $ 相互奇异或绝对连续的条件，基于系数差异。
• 利用遍历平均与对数积分，推导出在里斯积下正测度集的维数界限。
• 突出佩里埃1973年与1975年工作在准独立集理论及其在sidon集理论中应用中的奠基性作用。
• 强调佩里埃方法在构造具有极端分析与几何性质的集合方面的创新性及其长期影响。

提出的方法

• 分析形式为 $ \prod_{j=0}^\infty (1 + \operatorname{Re}(a_j e^{i\lambda_j t})) $ 的里斯积，其中频率满足 $ \lambda_{j+1}/\lambda_j \geq 3 $，以确保频率分离。
• 将部分积表示为 $ \varepsilon_j \in \{-1,0,1\} $ 的指数和，由于间隙条件的存在，各频率互异，从而得到测度 $ \mu_a $ 的傅里叶级数表示。
• 应用外尔准则，证明当 $ |a_j| \leq 1 $ 时，$ \mu_a $ 是连续测度。
• 利用 $ L^2(\mu_a) $ 中函数 $ e^{i\lambda_j t} - \frac{1}{2} \overline{a}_j $ 的正交性，证明当 $ \sum |a_j - b_j|^2 = \infty $ 时，测度互不奇异。
• 通过部分积的归一化对数积分的上极限与下极限，推导出 $ \mu_a $-正Borel集的维数界限。
• 利用里斯积技术在阿贝尔群中构造准独立集，证明在特定条件下，此类集合与 $ k $-球的交点数可达到 $ \gg k \log k $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在系数 $ a_j $ 与 $ b_j $ 满足何种条件时，两个里斯积测度 $ \mu_a $ 与 $ \mu_b $ 相互奇异？
• RQ2 当 $ \sum |a_j - b_j|^2 / (1 - |a_j|) < \infty $ 时，两个里斯积测度 $ \mu_a $ 与 $ \mu_b $ 何时相互绝对连续？
• RQ3 Borel集 $ E $ 满足 $ \mu_a(E) > 0 $ 时，其豪斯多夫维数界限如何用部分积的对数积分表达？
• RQ4 能否在阿贝尔群中构造出在 $ k $-球内包含 $ \gg k \log k $ 个点的准独立集？在何种群条件下成立？
• RQ5 佩里埃在1973年与1975年的早期工作如何为现代准独立集与sidon集理论奠定基础？

主要发现

• 若 $ \sum |a_j - b_j|^2 = \infty $，则 $ \mu_a \perp \mu_b $，即测度相互奇异。
• 若 $ \sum |a_j - b_j|^2 / (1 - |a_j|) < \infty $，则 $ \mu_a \sim \mu_b $，即测度相互绝对连续。
• 任意满足 $ \mu_a(E) > 0 $ 的Borel集 $ E $ 的豪斯多夫维数满足如下界限： $$ 1 - \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{\log \lambda_n} \int \log P_{a,n}(t) \, d\mu_a(t) \leq \dim E \leq 1 - \liminf_{n \to \infty} \frac{1}{\log \lambda_n} \int \log P_{a,n}(t) \, d\mu_a(t) $$
• 当 $ \lambda_j = 2^j $ 时，若 $ \sup |a_j| < 1 $，则里斯积测度 $ \mu_a $ 是良定义的，且在 $ a_j $ 与 $ b_j $ 同样满足该条件时，奇异度结果仍成立。
• 可构造一个准独立集 $ \Lambda $，使得对某个 $ k $-球 $ M $，有 $ |\Lambda \cap M| \gg k \log_2 k $，前提是群中存在任意高阶的元素。
• 在群如 $ \prod_{j=1}^\infty (\mathbb{Z}/p_j\mathbb{Z}) $ 中，若 $ p_j $ 有界，则该构造失败，此时交点数最多为 $ O(k) $，此结论由皮西耶的非构造性结果所示。