[论文解读] Jammed particulate systems are inherently nonharmonic

Carl F. Schreck, Thibault Bertrand+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Material Dynamics and Properties参考文献 1被引用 4

一句话总结

该论文表明，颗粒物质、胶体和泡沫等受堵塞的粒子系统由于存在单向排斥相互作用，本质上是非谐的，这意味着即使在无穷小扰动的极限下，它们也缺乏线性振动响应区域。通过二维无摩擦圆盘堆积的模拟，作者发现，谐波响应持续存在的临界形变幅度 δc 与 ⟨δc⟩ ∼ Δϕ/N^λ（其中 0.5 < λ < 1）成比例，且在大系统极限和接近阻塞点时趋于零，证明此类系统不存在真正的谐波响应区域。

ABSTRACT

Jammed particulate systems, such as granular media, colloids, and foams, interact via one-sided forces that are nonzero only when particles overlap. We find that systems with one-sided repulsive interactions possess no linear response regime in the large system limit ($N ightarrow \infty$) for all pressures $p$ (or compressions $Δϕ$), and for all $N$ near jamming onset $p ightarrow 0$. We perform simulations on 2D frictionless bidisperse mechanically stable disk packings over a range of packing fractions $Δϕ= ϕ-ϕ_J$ above jamming onset $ϕ_J$. We apply perturbations with amplitude $δ$ to the packings along each eigen-direction from the dynamical matrix and determine whether the response of the system evolving at constant energy remains in the original eigenmode of the perturbation. For $δ&gt; δ_c$, which we calculate analytically, a single contact breaks and fluctuations abruptly spread to all harmonic modes. As $δ$ increases further all discrete harmonic modes disappear into a continuous frequency band. We find that $\sim Δϕ/N^λ$, where $1 &gt; λ&gt; 0.5$, and thus jammed particulate systems are inherently nonharmonic with no linear vibrational response regime as $N ightarrow \infty$ over the full range of $Δϕ$, and as $Δϕ ightarrow 0$ at any $N$.

研究动机与目标

• 确定受堵塞的粒子系统在小扰动下是否表现出线性响应区域。
• 分离单向排斥相互作用作为这些系统中非谐性的主要来源。
• 量化由于接触网络变化导致谐波响应崩溃的临界扰动幅度 δc。
• 分析在大 N 极限和接近阻塞点时，δc 与系统尺寸 N 和压缩量 Δϕ 的缩放关系。
• 确立动力学矩阵的本征模式在热力学极限下不能描述真实振动行为。

提出的方法

• 使用周期性边界条件和线性排斥弹簧势 V(rij) = (ε/2)(1 - rij/σij)^2 Θ(1 - rij/σij)，对二维双分散无摩擦圆盘的力学稳定（MS）堆积进行模拟。
• 计算动力学矩阵及其本征模式，以定义每个堆积的谐波振动模式。
• 沿每个本征模式施加幅度为 δ 的扰动，并通过模式特异性自相关函数 Ak^k 的衰减来追踪系统的响应。
• 将 δc(k) 定义为单个接触断裂的幅度，此时响应开始传播至所有谐波模式，并最终形成连续的频率带。
• 利用幂律拟合和能量标度法，分析在系统尺寸（N = 12 至 1920）和压缩量（Δϕ = 10⁻⁷ 至 10⁻²）范围内，⟨δc⟩ 与 N 和 Δϕ 的缩放关系。
• 将结果与双侧线性弹簧系统进行比较，以隔离单向相互作用的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有单向排斥相互作用的受堵塞粒子系统中，即使在无穷小扰动下，是否存在线性振动响应区域？
• RQ2 在机械稳定堆积中，由于接触断裂导致谐波响应崩溃的临界扰动幅度 δc(k) 是多少？
• RQ3 在大 N 极限和接近阻塞点时，δc 如何随系统尺寸 N 和压缩量 Δϕ 缩放？
• RQ4 与接触网络变化相比，相互作用势的平滑非线性性在非谐性中所起的作用有多大？
• RQ5 在大受堵塞系统中，动力学矩阵的本征模式在描述振动行为时是否具有物理意义？

主要发现

• 单个接触断裂的临界幅度 δc(k) 满足 ⟨δc⟩ ∼ Δϕ/N^λ，其中 0.5 < λ < 1，表明当 N → ∞ 时，对所有 Δϕ 均有 δc → 0。
• 在大系统极限（N → ∞）下，δc 即使在有限压缩下也趋于零，证明受堵塞粒子系统不存在线性响应区域。
• 在阻塞点（Δϕ → 0）时，δc 对所有系统尺寸均趋于零，证实即使在最软的堆积中也存在固有的非谐性。
• 当 δ > δc 时，振动响应传播至所有谐波模式，其振幅与频率成反比，随后随平均频率降低而变为连续频谱。
• 破坏单个接触所需的平均能量 E* 满足 E* ∼ A(Δϕ)(Δϕ)²/N^β，其中 β ≈ 1.7，证实 E* 在热力学极限下趋于零。
• 在大 N 极限或阻塞点时，动力学矩阵的本征模式不能描述真实振动行为，因为系统本质上是非谐的。