[论文解读] Jaynes-Cummings model without rotating wave approximation. Asymptotics of eigenvalues

É. A. Tur|ArXiv.org|Nov 22, 2002

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文基于原子跃迁频率 ω₀ 作为小参数，发展了一套微扰理论，用于分析无旋转波近似（RWA）下的 Jaynes-Cummings 模型。该理论推导出高量子数下本征值的精确渐近行为，表明反旋项会改变渐近展开中的二阶项——导致在大 n 时能级分裂趋于零，与 RWA 预测的分裂无界增长形成鲜明对比。

ABSTRACT

In this paper the perturbation theory with the frequency of transition in atom as perturbation parameter is constructed. The estimation of the reminder term of series of this perturbation theory is given. With the help of this perturbation theory we have found an exact asymptotics of eigenvalues of complete hamiltonian in the limit of high quantum numbers. It is shown that the counter-rotating terms keep a leading term but absolutely change a second term of this asymptotic.

研究动机与目标

• 分析无旋转波近似（RWA）下的 Jaynes-Cummings 哈密顿量，尤其关注高量子数区域。
• 解决在大场能量下 RWA 失效的问题，此时反旋项变得显著。
• 构建以 ω₀ 为小参数的微扰理论，即使在 g/ω 不小时也保持有效。
• 推导大量子数下本征值的渐近展开，并与 RWA 预测进行比较。
• 估计微扰级数的余项并建立收敛条件。

提出的方法

• 将哈密顿量分解为两个不变子空间，分别由无限 Jacobi 矩阵 H₁ 和 H₂ 表示。
• 将 H₁ 和 H₂ 表示为 H = A₀ + ω₀P₁ 和 H = A₀ + ω₀P₂，其中 A₀ 为平移谐振子哈密顿量，P₁、P₂ 为对角投影算符。
• 通过 Bogolubov 变换对 A₀ 进行对角化，得到本征值 λₘ = ω₀ + mω − g²/ω 及用广义拉盖尔多项式表示的本征态。
• 应用 ω₀ 的幂级数微扰理论，通过递推迹公式计算本征值校正。
• 利用围道积分表示法及矩阵元的界估计级数的余项。
• 证明当 ω₀ ≤ ω√3/(2π) 时微扰级数收敛，余项被几何级数形式所控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不采用旋转波近似时，Jaynes-Cummings 哈密顿量的本征值在高量子数极限下如何行为？
• RQ2 与 RWA 相比，反旋项在本征值渐近展开中的作用是什么？
• RQ3 能否基于 ω₀ 作为小参数的微扰理论来描述高能本征态，即使 g/ω 不小？
• RQ4 在此框架下，微扰级数的收敛行为及余项估计如何？
• RQ5 与 RWA 预测相比，非 RWA 情况下大量子数时能级分裂如何演化？

主要发现

• 当 m → ∞ 时，本征值的主导渐近行为为 λₘ ∼ mω + 3ω₀/2 − g²/ω，该结果在子空间 H₁ 和 H₂ 中均成立。
• 二阶校正项与 RWA 定性不同：其为常数而非随 √m 增大。
• 相邻能级间的分裂 Δₘ = λ₂ₘ₊₂ − λ₂ₘ₊₁ 在 m → ∞ 时趋于 ω，表明分裂趋于饱和而非无界增长。
• 当 ω₀ ≤ ω√3/(2π) ≈ 0.23ω 时，微扰级数收敛，余项被几何级数形式所控制。
• 数值证据表明，渐近公式在严格收敛边界之外仍保持有效。
• 反旋项虽保持主导项不变，但从根本上改变了二阶项，导致与 RWA 情况下高 n 行为定性不同。