[论文解读] JET BUNDLES ON PROJECTIVE SPACE: NEW EXAMPLES

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 2

一句话总结

本论文在任意维数下构造了首个已知的射流丛例子，其在射影空间上的左、右 O-模结构非同构，利用射影空间上的一阶主部分层 J¹(O(l))。关键结果是：尽管这些结构不同，但其在代数 K-理论中的类相等，由广义 Atiyah 类所检测。该工作将 Atiyah 序列与类推广至任意环化拓扑空间，并证明在这些条件下射流丛的 K-理论不变性。

ABSTRACT

In previous papers it was shown that the left and right O-module structure of the jet bundles on the projective line differed. In this paper we show that similar statements hold for jet bundles on projective space in any dimension. We also consider some classes associated to jet bundles in the algebraic K-theory of projective space.

研究动机与目标

• 构造射影空间上维数大于 1 时，左与右 O-模结构非同构的射流丛的首个例子。
• 将 Atiyah 序列与 Atiyah 类推广至任意环化拓扑空间。
• 证明这些非同构射流丛在代数 K-理论中的等价类相等。
• 将射流丛与特征类的理论扩展至经典光滑概形设定之外。

提出的方法

• 为任意环化拓扑空间 (X, O) 上的导子 d: O → I 定义广义 Atiyah 序列，其中 I 作为左与右 O-模被阿贝尔化。
• 通过公式 (2.1.1) 与 (2.1.2) 显式构造一阶射流丛 J(E) = I ⊗O E ⊕ E 的左与右 O-模结构。
• 证明广义 Atiyah 序列是右可裂的，这意味着左与右结构同构当且仅当广义 Atiyah 类为零。
• 利用射影丛公式计算格罗滕迪克群 K(Pⁿ)，通过类 t = 1 - [O(-1)] 将其识别为 Z{1, t, ..., tⁿ⁻¹}。
• 应用 K-理论同构，通过归纳法与 Symᵏ(Ω¹_X/S) ⊗ E 的阿贝尔化性质，证明对任意 k ≥ 1 与局部自由层 E，有 [Jᵏ(E)left] = [Jᵏ(E)right] 在 K(X) 中成立。
• 证明对射影空间上线丛 O(l) 的情形，J¹(O(l)) 的左与右结构非同构，但其 K-理论类相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在维数大于一的射影空间上构造出射流丛的左与右 O-模结构非同构的显式例子？
• RQ2 广义 Atiyah 类在检测射流丛上左与右模结构非同构性中起什么作用？
• RQ3 此类非同构射流丛在代数 K-理论中的等价类是否相等？
• RQ4 如何将 Atiyah 序列与 Atiyah 类推广至任意环化拓扑空间？
• RQ5 当底概形非微分光滑时，射流丛的 K-理论不变性是否仍然成立？

主要发现

• 本文构造了当 n ≥ 2 时，射影空间 Pⁿ 上 J¹(O(l)) 的左与右 O-模结构非同构的显式射流丛例子，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 对任意 n ≥ 1，Pⁿ 上 J¹(O(l)) 的广义 Atiyah 序列是右可裂的，但左与右 O-模结构不构同，由广义 Atiyah 类非零所证明。
• 作为左 O-模与右 O-模的 J¹(O(l)) 的等价类在格罗滕迪克群 K(Pⁿ) 中相等，该结论通过射影丛公式与 K-理论同构得证。
• 广义 Atiyah 类 a(E) ∈ Ext¹(O, Ω¹ ⊗ E) 为零当且仅当 J(E) 上的左与右 O-模结构同构，从而提供了一个上同调障碍。
• 对任意 k ≥ 1 与微分光滑概形 X/S 上的局部自由层 E，由于 Symᵏ(Ω¹) ⊗ E 的阿贝尔化性质，有 [Jᵏ(E)left] 与 [Jᵏ(E)right] 在 K-理论中相等。
• 在 P¹ 上线丛的情形，广义 Atiyah 类 a(O(l)) 对应于第一陈类 c₁(O(l)) ∈ H¹(P¹, Ω¹)，且 a(O(l)) = 0 当且仅当左与右结构同构。