[论文解读] Jet coordinates for local BRST cohomology

Friedemann Brandt|ArXiv.org|Mar 6, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 36

一句话总结

本文提出了一套系统化的方法，用于在局部BRST上同调计算中构建喷射坐标，重点在于识别在BRST微分下封闭的合适变量。该方法引入了适应性喷射坐标和分级导数的框架，通过使用收缩同伦隔离平凡上同调分支，从而简化上同调计算。主要贡献在于通过喷射空间中的协变导数和结构方程，对BRST上同调进行几何表征。

ABSTRACT

The construction of appropriate jet space coordinates for calculating local BRST cohomology groups is discussed. The relation to tensor calculus is briefly reviewed too.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，用于选择喷射空间坐标，以简化局部BRST上同调群的计算。
• 识别BRST上同调可通过收缩同伦分解的条件，特别是通过隔离平凡上同调分支。
• 利用分级导数和类似联络的物体在喷射空间中建立几何结构，以反映规范代数和对称性结构。
• 将喷射坐标的使用从标准场论模型推广至非拉格朗日理论和高阶对称性。

提出的方法

• 本文引入了一套由场、反场、其导数和微分组成的喷射坐标系，重点在于识别满足 $ s w^I = r^I(w) $ 的变量 $ w^I $，以确保子空间在BRST微分下不变。
• 定义了分级导数 $ \nabla_M = R_M^A(T) \partial / \partial T^A $，其在 $ w^I $-变量上生成BRST作用，形成类似于规范联络的结构。
• 该方法依赖于 $ \tilde{s} $-双生态和 $ \tilde{s} $-不变子空间的存在，其中 $ \tilde{s} = s + d $，通过Künneth公式分解上同调。
• 推导出结构方程 $ [\nabla_M, \nabla_N] = -F_{MN}^K \nabla_K $，其编码了规范代数，并与 $ s^2 = 0 $ 一致。
• 通过将 $ \tilde{C}^\tilde{M} $ 分解为形式度和反常数分量，从总度数1分量中提取协变导数 $ \mathcal{D}_m $。
• 将形式化应用于杨-米尔斯理论，表明 $ \mathcal{D}_m = \delta^\mu_m (\partial_\mu - A^a_\mu \delta_a) $ 自然地从喷射坐标结构中浮现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化地选择喷射坐标，以简化局部BRST上同调的计算？
• RQ2 在何种条件下，BRST上同调可通过收缩同伦分解为平凡与非平凡分支？
• RQ3 当BRST微分作用于适应坐标时，喷射空间中会涌现出何种几何结构？
• RQ4 结构方程 $ [\nabla_M, \nabla_N] = -F_{MN}^K \nabla_K $ 如何与底层规范代数相关联？
• RQ5 总微分 $ \tilde{s} = s + d $ 在定义包含协变导数的一致上同调框架中起什么作用？

主要发现

• 当存在合适的坐标系 $ \{u^\ell, v^\ell, w^I\} $ 且满足 $ s w^I = r^I(w) $ 时，BRST上同调 $ H(s) $ 可分解为 $ H(s) = H(s, \mathcal{F}_{u,v}) \otimes H(s, \mathcal{F}_w) $。
• 此类 $ w^I $-坐标的存在确保了在许多情况下 $ H(s, \mathcal{F}_{u,v}) $ 为平凡，从而使上同调简化为 $ H(s, \mathcal{F}_w) $。
• 结构方程 $ [\nabla_M, \nabla_N] = -F_{MN}^K \nabla_K $ 由 $ s^2 = 0 $ 导出，其编码了理论的规范代数。
• 在杨-米尔斯情形下，协变导数 $ \mathcal{D}_m = \delta^\mu_m (\partial_\mu - A^a_\mu \delta_a) $ 自然地从 $ \tilde{C}^\tilde{M} $ 的喷射坐标分解中浮现。
• 分解 $ \tilde{C}^\tilde{M} = dx^\mu A_\mu^\tilde{M} + C^\tilde{M} + \cdots $ 导出了在壳关系 $ \partial_\mu T^\tilde{A} \approx A_\mu^\tilde{M} \nabla_\tilde{M} T^\tilde{A} $，将几何与动力学联系起来。
• 该形式化可推广至非拉格朗日理论和高阶对称性，表明喷射坐标方法在BRST形式化推广中具有普遍性和鲁棒性。