[论文解读] Jitter in Dynamical Systems with Intersecting Discontinuity Surfaces

Mike R. Jeffrey, Georgios Kafanas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Quantum chaos and dynamical systems被引用 12

一句话总结

本文研究了在多个相交不连续面存在的分段光滑动力系统中出现的抖动（jitter）——即不规则且对参数敏感的切换动力学。通过分析滞后、时滞和离散化等扰动，作者表明滑动运动对向量场变化极为敏感，导致复杂吸引子和混沌行为，且在零扰动极限下，滑动解与经典的Filippov或屋檐（canopy）解存在显著偏离。

ABSTRACT

Mathematical models involving switches --- in the form of differential equations with discontinuities --- can accomodate real-world non-idealities through perturbations by hysteresis, time-delay, discretization, and noise. These are used to model the processes associated with switching in electronic control, mechanical contact, predator-prey preferences, and genetic or cellular regulation. The effect of such perturbations on rapid switching dynamics about a single switch are somewhat benign: in the limit that the size of the perturbation goes to zero the dynamics is given by Filippov's sliding solution. When multiple switches are involved, however, perturbations can have complicated effects, as shown in this paper. In the zero-perturbation limit, hysteresis, time-delay, and discretization cause erratic variation or `jitter' for stable sliding motion, whilst noise generates a relatively regular sliding solution similar to the canopy solution (an extension of Filippov's solution to multiple switches). We illustrate the results with a model of a switched power circuit, and showcase a variety of complex phenomena that perturbations can generate, including chaotic dynamics, exit selection, and coexisting sliding solutions.

研究动机与目标

• 理解当多个不连续面相交时，分段光滑系统中滑动运动的鲁棒性。
• 研究非理想开关机制（如滞后、时滞、离散化）与理想化的Filippov解相比，如何改变滑动动力学。
• 解释在存在相交开关的系统中，扰动下抖动与混沌行为的产生机制。
• 证明扰动系统（如通过滞后）中的吸引子不能仅由向量场预测，而依赖于开关机制的动力学。
• 表明滑动速度和轨迹可能与屋檐解存在显著偏离，尤其在滞后或离散化条件下。

提出的方法

• 采用具有在Σ₁,…,Σₘ面上不连续的分段光滑常微分方程模型，其中向量场f(x)在2^m个区域中均为光滑。
• 通过平滑（sigmoidal过渡）、滞后（具有ε宽度的双稳态切换）、时滞和离散化等扰动对系统进行正则化。
• 通过扰动大小ε → 0的极限定义滑动运动，而非依赖Filippov的凸组合方法。
• 利用圆映射（circle maps）分析结果动力学，表明切换乘数λ在单维映射上演化并发生分岔。
• 将扰动后的滑动解与理想Filippov解及屋檐解（向量场的凸包）进行比较。
• 在切换电源电路模型上进行数值模拟，以可视化抖动、吸引子结构及开关频率。

实验结果

研究问题

• RQ1 滞后或时滞如何影响多个不连续面交线处滑动运动的稳定性与结构？
• RQ2 为何在扰动（如滞后）下，滑动解会偏离经典的Filippov或屋檐解？
• RQ3 滑动向量场中的‘抖动’由何引起，其与开关动力学分岔有何关联？
• RQ4 扰动系统（如通过滞后）中的吸引子如何影响有效滑动速度与轨迹？
• RQ5 在多大程度上可仅从向量场预测滑动动力学，还是开关机制本身主导行为？

主要发现

• 抖动源于滑动解对向量场微小变化的敏感性，尤其在多个开关相交时更为显著。
• 在滞后条件下，系统演化至一个吸引子，该吸引子决定了切换乘数λᵢ，其值既非来自屋檐解也非Filippov解。
• 滞后情况下的吸引子是连续分段可微的圆映射的解，且随参数变化发生分岔。
• 数值模拟表明，当ε = √2/10³时，滑动速度与ε → 0极限高度吻合，表明收敛至理想化吸引子。
• 系统表现出混沌动力学与出口选择，开关频率在5 kHz至25 kHz之间——处于真实电子开关的典型范围内。
• 模拟轨道与屋檐解存在显著偏离，广泛探索了凸包区域，证实吸引子主导了有效动力学。