[论文解读] Join-semidistributive lattices of relatively convex sets

Kira Adaricheva|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了当 X 为有限条线段的并集时，ℝⁿ 中相对凸集的格为上半分配格的两个充分条件。此外，本文通过几何构造证明了每个有限下有界的格都可以嵌入此类格中，为将有限格嵌入有限点集上的凸几何提供了一种新方法。

ABSTRACT

We give two sufficient conditions for the lattice Co(R^n,X) of relatively convex sets of n-dimensional real space R^n to be join-semidistributive, where X is a finite union of segments. We also prove that every finite lower bounded lattice can be embedded into Co(R^n,X), for a suitable finite subset X of R^n.

研究动机与目标

• 研究当 X 为有限条线段的并集时，ℝⁿ 中相对凸集的格为上半分配格的条件。
• 通过在不保持 X 有限性的情况下推广 [2] 中的问题 3，同时保持上半分配性。
• 通过几何构造，将每个有限下有界格嵌入 ℝⁿ 中相对凸集的有限格中。
• 使用凸包与极点，提供有限下有界格嵌入凸几何的新证明。

提出的方法

• 将有限集 X ⊆ ℝⁿ 构造为 {1, ..., n+1} 的子集所关联的凸多面体的极点的并集。
• 定义从布尔格 B_{n+1} 的交子半格格到 ℝⁿ 中有界凸集格的映射 φ。
• 通过点 p(i, A) 的凸包与特殊顶点 v 的几何构造，定义集合 X，以确保嵌入保持交与并。
• 通过证明其在上不可约元素中不包含 D-环，证明所得格 Co(ℝⁿ, X) 为下有界。
• 通过验证 φ 与包含映射到 Co(ℝⁿ, X) 的复合保持交与并，确认其为格嵌入。
• 利用有限下有界格可嵌入 Sub_∧B_{n+1} 的事实，并通过几何构造将此嵌入提升至 Co(ℝⁿ, X)。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 X 为有限条线段的并集时，X 在何种条件下使得 Co(ℝⁿ, X) 为上半分配格？
• RQ2 每个有限下有界格是否都能嵌入某个有限 X ⊆ ℝⁿ 的 Co(ℝⁿ, X) 格中？
• RQ3 通过多面体的极点构造 X 的几何方法是否能产生保持交与并的格嵌入？
• RQ4 Co(ℝⁿ, X) 中上不可约元素无 D-环，这与格的下有界性有何关系？
• RQ5 顶点 v 与点 p(i, A) 在确保嵌入保持并运算中起什么作用？

主要发现

• 当 X 为有限条线段的并集时，确立了 Co(ℝⁿ, X) 为上半分配格的两个充分条件。
• 当 X 由 {1, ..., n+1} 的子集所关联的多面体的极点与中心顶点 v 构造时，Co(ℝⁿ, X) 被证明为下有界。
• 通过基于凸包与极点的几何构造，每个有限下有界格均可嵌入某个有限 X ⊆ ℝⁿ 的 Co(ℝⁿ, X) 中。
• φ 与包含映射到 Co(ℝⁿ, X) 的复合产生保持交与并的格嵌入。
• 构造避免了上不可约元素中的 D-环，从而确认 Co(ℝⁿ, X) 为下有界。
• 该结果为有限格嵌入凸几何提供了新的几何视角，补充了 [4] 和 [10] 的早期结果。