[论文解读] Joint distribution of a spectrally negative Lévy process and its occupation time, with step option pricing in view

Hélène Guérin, Jean‐François Renaud|Archipelago (Université du Québec à Montréal)|Jun 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文利用 scale 函数，以闭式表达谱负 Lévy 过程及其在有界区间内占用时间的联合 Laplace 变换。主要贡献是为谱负 Lévy 驱动资产模型下的步进期权定价提供了可计算的公式，尤其适用于具有超指数跳跃的跳扩散过程。

ABSTRACT

For a spectrally negative Lévy process $X$, we study the following distribution: $$ \mathbb{E}_x \left[ \mathrm{e}^{- q \int_0^t \mathbf{1}_{(a,b)} (X_s) \mathrm{d}s } ; X_t \in \mathrm{d}y ight], $$ where $-\infty \leq a < b < \infty$, and where $q,t>0$ and $x \in \mathbb{R}$. More precisely, we identify the Laplace transform with respect to $t$ of this measure in terms of the scale functions of the underlying process. Our results are then used to price step options and the particular case of an exponential spectrally negative Lévy jump-diffusion model is discussed.

研究动机与目标

• 推导谱负 Lévy 过程及其在有界区间内占用时间的联合分布关于时间的 Laplace 变换。
• 利用底层 Lévy 过程的 scale 函数，给出联合分布的闭式表达。
• 实现谱负 Lévy 过程驱动的金融模型中步进期权的定价。
• 将现有波动性恒等式扩展至固定时间 horizon 的占用时间分布，连接 arcsine 定律与金融应用。
• 分析具有超指数跳跃的指数谱负 Lévy 跳扩散过程的特例，以实现实际期权定价。

提出的方法

• 利用谱负 Lévy 过程的 scale 函数理论，刻画过程及其占用时间的联合分布。
• 应用概率分解技术，将联合 Laplace 变换表示为 scale 函数及其变体的形式。
• 通过求解涉及 scale 函数的 Fredholm 型积分方程，推导占用时间测度的 Laplace 变换。
• 使用有变差有界 Lévy 过程序列的逼近方法，将结果从有界变差路径推广至无界变差路径。
• 引入辅助函数 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $ 和 $ \mathcal{W}^{(p,q)} $，将 scale 函数推广以包含占用时间的影响。
• 通过紧区间上几乎必然一致收敛及 Laplace 变换的连续性，建立逼近过程向原过程的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以闭式刻画谱负 Lévy 过程及其在有界区间内占用时间的联合分布？
• RQ2 对于一般谱负 Lévy 过程，其占用时间测度的 Laplace 变换（在固定时间点过程值条件下）是什么？
• RQ3 如何将 scale 函数扩展以在 Lévy 过程波动理论中纳入占用时间动态？
• RQ4 路径变差（有界与无界）对联合分布及其 Laplace 变换有何影响？
• RQ5 所推导的公式如何应用于 Lévy 驱动金融模型中的步进期权定价？

主要发现

• 联合分布的 Laplace 变换以 scale 函数 $ W^{(p)} $、$ W^{(p+q)} $ 及辅助函数 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $、$ \mathcal{W}^{(p,q)} $ 表示。
• 通过使用有变差有界过程序列的逼近方法，该公式在有界与无界变差路径下均成立。
• 逼近过程的收敛性确保了无界变差情形下最终表达式的有效性。
• 对于超指数跳跃的跳扩散模型，scale 函数具有显式表达式，从而可导出显式的期权定价公式。
• 联合分布由涉及 $ \mathcal{H}^{(p,q)} $、$ \mathcal{W}^{(p,q)} $ 和 $ W^{(p)} $ 的项的混合形式给出，其系数依赖于 scale 函数及其导数。
• 该结果将经典 arcsine 定律与波动性恒等式推广至固定时间 horizon、依赖占用时间的分布。