[论文解读] Joint extreme values of the Riemann zeta function at harmonic points

Qiyu Yang, Shengbo Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2026

Analytic Number Theory Research被引用 0

一句话总结

该论文通过共振法在调和点上 refined 下界，用于 zeta 在谐振方向的联合极值，并将 Levinson 1972 的结果推广到多个谐振方向以及在 RH 下的临界带。

ABSTRACT

Using the resonance method, we obtain refined estimates for joint extreme values of the Riemann zeta function at harmonic points, improving upon Levinson's 1972 results and providing new insight into the behavior of the Riemann zeta function. Our proof is primarily based on Dirichlet series theory and the truncated Euler product for the Riemann zeta function. As a corollary, we can recover some previously known extreme value results for the zeta function.

研究动机与目标

• 推动对 ζ(s) 在谐振垂直方向上同时极值的更深理解。
• 改进在 σ=1 的直线及临界带上最大值乘积 ∏_{j=1}^ℓ |ζ(σ+ijt)| 的下界。
• 基于Dirichlet级数和截断Euler积，发展并应用长共振法来导出界的次项。

提出的方法

• 使用在完全乘性系数的Dirichlet级数上构造的共振器 R(t) 来进行共振法。
• 用截断Euler积 ζ(s;Y) 来近似 ζ(s)，并应用辅助引理（Granville–Soundararajan 型对数 ζ 的估计、零密度界） 。
• 通过分析加权高斯 Φ 的 M1 与 M2 积分并利用其傅里叶变换的非负性来推导长共振下界。
• 对 I2/I1 获取显式的 Euler-product 下界，从而得到主渐近中的次项。
• 给出在无条件条件下的 σ=1 线上以及 1/2<σ<1 的结果，以及在带 RH 条件下在带内的改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 σ=1 的谐振点以及临界带内，联合极值 ζ(s) 的下界增长率有何 refined？
• RQ2 最大联合值 ∏_{j=1}^ℓ |ζ(σ+ijt)| 能达到多大，能捕捉到哪些次项？
• RQ3 共振法结合截断 Euler 积在揭示驱动联合极值的代数结构方面能达到何种程度？
• RQ4 假设 RH 对临界带内这些联合极值的范围与大小有何影响？

主要发现

• 在线 σ=1 上，对 t∈[√T, T]，联合最大值存在带有次项的下界：e^{ℓγ} { (log_2 T)^ℓ + ℓ (log_2 T)^{ℓ-1} log_3 T + O_{ℓ}((log_2 T)^{ℓ-1}) }。
• 在临界带 (1/2<σ<1) 上，对 t∈[T^β, T]，联合最大值至少为 exp{ κ^{1−σ} (S(σ,ℓ) + o_σ(1)) (log T)^{1−σ} / (log_2 T)^σ }，其中给出明确的 S(σ,ℓ) 与 κ 的界限。
• 在 RH 下，带 RH 的条件性联合极值在 σ∈(1/2,1) 时成立，κ 的上界为 (1−β)/(σ(1+c(σ)))。
• 定理 1.2 表明 S(σ,ℓ) 随 ℓ 与 σ 增长而增长，并包含一个二项和项，在 σ 接近 1/2 时抑制增长。
• 工作把一些已知的极值结果作为推论得到并推广到联合的谐振点。
• 结果强调在各个谐振方向上的极值出现是协同且受代数结构驱动的。