[论文解读] Joint Limiting Distribution of Minima and Maxima of Complete and Incomplete Samples of Stationary Sequences

Enkelejd Hashorva, Zhichao Weng|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了平稳序列完整与不完整样本中极大值与极小值的联合弱收敛性，将先前结果扩展至观测数据比例以概率收敛于随机变量的情形。关键发现是：仅当不完全性比例为确定性常数时，极大值与极小值之间才保持渐近独立；否则，由于随机抽样不确定性，二者之间将出现依赖关系。

ABSTRACT

In the seminal contribution [4] the joint weak convergence of maxima and minima of weakly dependent stationary sequences is derived under some mild asymptotic conditions. In this paper we address additionally the case of incomplete samples assuming that the average proportion of incompleteness converges in probability to some random variable. We show the joint weak convergence of the maxima and minima of both complete and incomplete samples. It turns out that for special cases, maxima and minima are asymptotically independent.

研究动机与目标

• 将极大值与极小值的联合弱收敛理论扩展至平稳序列的不完整样本。
• 研究随机不完全性——即观测数据比例以概率收敛于非退化随机变量——对极限联合分布的影响。
• 确定在数据不完全性存在的情况下，极大值与极小值仍保持渐近独立的条件。
• 将先前关于不完整样本的研究结果（假设观测数据比例为确定性常数）推广至更具现实意义的随机不完全性情形。

提出的方法

• 作者采用Davis（1987）提出的Berman条件以及弱依赖条件（条件D和D'），以控制平稳序列中的极值依赖性。
• 通过序列 $ a_n, b_n $ 对极大值进行标准化，序列 $ c_n, d_n $ 对极小值进行标准化，使其与广义极值分布的极限形式一致。
• 通过指示变量 $ \varepsilon_i $ 建模不完整抽样，其中 $ S_n/n \to \mathcal{P} $ 依概率收敛，且 $ \mathcal{P} $ 为一随机变量。
• 关键技术步骤包括将样本划分为块，并利用泊松近似控制极大值与极小值的联合尾部概率。
• 证明过程中利用Ky Fan度量与集中不等式，控制观测值经验比例的偏差。
• 极限联合分布表示为对随机比例 $ \mathcal{P} $ 的期望，形式为 $ \mathbb{E}\left[ G^{\mathcal{P}}(x) G^{1-\mathcal{P}}(y) \right] $（极大值），极小值亦有类似形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平稳序列不完整样本中极大值与极小值的联合极限分布弱收敛？
• RQ2 当观测数据比例为非退化随机变量而非常数时，极大值与极小值之间的渐近依赖结构如何变化？
• RQ3 极大值与极小值的联合极限分布能否表示为对随机不完全性比例 $ \mathcal{P} $ 的期望，从而推广先前针对确定性 $ \mathcal{P} $ 的结果？
• RQ4 当不完全性为随机时，极大值与极小值之间的渐近独立性是否仍然成立，还是被破坏？
• RQ5 随机不完全性对平稳序列联合极值行为有何影响？

主要发现

• 在弱依赖与随机不完全性条件下，完整与不完整样本中标准化极大值与极小值的联合极限分布均弱收敛。
• 当不完全性比例 $ \mathcal{P} $ 为确定性常数时，极大值与极小值渐近独立。
• 若 $ \mathcal{P} $ 为非退化随机变量，则极大值与极小值之间的渐近独立性不成立，其联合分布依赖于 $ \mathcal{P} $ 的分布。
• 极限联合分布可表示为 $ \mathbb{E}\left[ G^{\mathcal{P}}(x) G^{1-\mathcal{P}}(y) \right] $（极大值），极小值亦有类似形式，反映出抽样过程的随机性。
• 证明通过分块、泊松近似与Ky Fan度量控制实现，误差界随样本量增加而趋于零。
• 该结果推广了[6]与[9]的早期发现，后者假设 $ \mathcal{P} $ 为确定性常数，现扩展至 $ \mathcal{P} $ 为随机变量的情形，为不完整数据提供了更现实的模型。