[论文解读] Joint numerical radius of spherical Aluthge transforms of tuples of Hilbert space operators

Kais Feki, Takeaki Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了希尔伯特空间算子d元组的球面Aluthge变换，并建立了关于变换后元组的联合数值半径与联合算子范数之间的一系列精确不等式。证明了算子元组的联合谱半径等于其迭代球面Aluthge变换的联合算子范数的极限，从而通过迭代变换提供了一种子谱表征方法。

ABSTRACT

Let $\mathbf{T}=(T_1,\ldots,T_d)$ be a $d$-tuple of operators on a complex Hilbert space $\mathcal{H}$. The spherical Aluthge transform of $\mathbf{T}$ is the $d$-tuple given by $\widehat{\mathbf{T}}:=(\sqrt{P}V_1\sqrt{P},\ldots,\sqrt{P}V_d\sqrt{P})$ where $P:=\sqrt{T_1^*T_1+\ldots+T_d^*T_d}$ and $(V_1,\ldots,V_d)$ is a joint partial isometry such that $T_k=V_k P$ for all $1 \le k \le d$. In this paper, we prove several inequalities involving the joint numerical radius and the joint operator norm of $\widehat{\mathbf{T}}$. Moreover, a characterization of the joint spectral radius of an operator tuple $\mathbf{T}$ via $n$-th iterated of spherical Aluthge transform is established.

研究动机与目标

• 定义并分析希尔伯特空间算子d元组的球面Aluthge变换。
• 推导球面Aluthge变换的联合数值半径与联合算子范数之间的精确不等式。
• 通过迭代球面Aluthge变换的联合算子范数极限，刻画算子元组的联合谱半径。

提出的方法

• d元组T = (T₁,…,Tₙ)的球面Aluthge变换定义为(P¹ᐟ²V₁P¹ᐟ²,…,P¹ᐟ²VₙP¹ᐟ²)，其中P = (ΣTₖ* Tₖ)¹ᐟ²，且Tₖ = VₖP通过联合极分解得到。
• 联合数值半径ω(T)定义为在单位球面上联合数值域的ℓ²-范数的上确界。
• 联合算子范数‖T‖定义为(∑‖Tₖx‖²)¹ᐟ²在单位球面上的上确界。
• 本文采用球面Aluthge变换的迭代应用，并分析迭代后联合算子范数的渐近行为。
• 利用极分解的性质及算子范数的次乘性，推导出关键不等式。
• 基于迭代变换的联合算子范数收敛性，采用极限论证方法刻画联合谱半径。

实验结果

研究问题

• RQ1 球面Aluthge变换的联合数值半径与原始算子元组的联合数值半径之间有何关系？
• RQ2 球面Aluthge变换的联合算子范数与原始元组的联合算子范数之间有何关系？
• RQ3 能否通过迭代球面Aluthge变换刻画d元组算子的联合谱半径？
• RQ4 迭代球面Aluthge变换的联合算子范数是否收敛于联合谱半径？
• RQ5 球面Aluthge变换的联合数值半径在联合算子范数下的最优界是什么？

主要发现

• 球面Aluthge变换的联合数值半径满足ω(Ť) ≤ ω(T)，表明该变换下具有单调性。
• 球面Aluthge变换的联合算子范数满足‖Ť‖ ≤ ‖T‖，表明范数不增加。
• 联合谱半径r(T)等于第n次迭代球面Aluthge变换的联合算子范数的极限，即r(T) = limₙ→∞ ‖Ťₙ‖。
• 对任意k ≥ 1，迭代变换的k次幂的联合算子范数满足‖Ťₙᵏ‖ ≤ ‖Tᵏ⁺¹‖¹ᐟ²‖Tᵏ⁻¹‖¹ᐟ²。
• 迭代球面Aluthge变换的联合算子范数收敛于联合谱半径s，且通过反证法证明该极限等于r(T)。
• 联合谱半径被表征为迭代球面Aluthge变换的联合算子范数的极限，从而提供了新的谱表示形式。