[论文解读] Joint queue length distribution of multi-class, single server queues with preemptive priorities

Andrei Sleptchenko, Selen, Jori+2 more|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Nov 12, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于矩阵分析技术的精确递归方法，用于计算具有N类客户和抢占式优先级的M/M/1队列中的均衡联合队列长度分布，利用嵌入式M/G/1型马尔可夫过程。该方法避免了截断和无穷级数，可在3类系统中于5秒内快速、准确地计算出系统性能指标（如备件可用性）。

ABSTRACT

In this paper we analyze an $M/M/1$ queueing system with an arbitrary number of customer classes, with class-dependent exponential service rates and preemptive priorities between classes. The queuing system can be described by a multi-dimensional Markov process, where the coordinates keep track of the number of customers of each class in the system. Based on matrix-analytic techniques and probabilistic arguments we develop a recursive method for the exact determination of the equilibrium joint queue length distribution. The method is applied to a spare parts logistics problem to illustrate the effect of setting repair priorities on the performance of the system. We conclude by briefly indicating how the method can be extended to an $M/M/1$ queueing system with non-preemptive priorities between customer classes.

研究动机与目标

• 开发一种精确方法，用于计算具有抢占式优先级调度的多类别单服务器队列中的联合均衡队列长度分布。
• 避免现有方法在多类别优先级队列中因截断或无穷级数导致的数值近似误差。
• 实现在备件物流等实际应用中（如可维修部件）的准确性能评估。
• 通过适配嵌入式马尔可夫过程框架，将该方法扩展至非抢占式优先级系统。
• 通过在3类备件维修系统上的数值实验，展示计算效率与准确性。

提出的方法

• 该方法使用矩阵分析技术，将系统建模为状态空间为N₀^N的多维马尔可夫过程，以追踪各类别的队列长度。
• 识别在无更高优先级客户存在的层级上的嵌入式马尔可夫过程，这些过程为M/G/1型，从而可通过首次通过概率实现递归求解。
• 通过分析每一类层级的首次通过概率，利用一步分析推导转移概率，递归计算均衡概率。
• 该方法利用了低优先级客户观察到系统为带有‘休假’的M/G/1队列的特性，这些‘休假’对应于高优先级服务中断。
• 对于非抢占式系统，状态空间被扩展以包含当前正在服务的客户类别，并相应调整递归计算过程。
• 该算法使用Java实现，并采用概率质量截断阈值ε = 10⁻⁶，以在保持计算效率的同时确保精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不进行截断或使用无穷级数的情况下，精确计算具有N个抢占式优先级类别的M/M/1队列中的联合队列长度分布？
• RQ2 如何递归应用矩阵分析方法，以计算具有基于优先级的状态转移的多维马尔可夫过程中的均衡概率？
• RQ3 在包含多个可维修部件的实际备件物流场景中，该方法的计算性能如何？
• RQ4 联合分布如何实现不同优先级分配和基底库存水平下的准确系统可用性分析？
• RQ5 能否通过修改状态描述和嵌入过程结构，将该方法扩展至非抢占式优先级系统？

主要发现

• 该方法使用递归矩阵分析技术，精确计算了具有抢占式优先级的N类M/M/1队列的联合队列长度分布，避免了数值近似。
• 在3类备件维修系统中，计算时间在0.02至34.35秒之间，具体取决于负载和优先级分配，且ε = 10⁻⁶确保了高精度。
• 系统可用性被准确计算，并在不同优先级分配下实现最大化，即使在95%利用率下，可用性值也超过0.9994。
• 当高优先级备件优先维修，且低优先级备件队列最小时，可用性达到最高值（0.9999）。
• 该方法在不同利用率水平和优先级排序下表现出鲁棒性，平均队列长度和基底库存水平在系统性能中得到准确反映。
• 通过在状态描述中包含服务类别并相应调整边界概率的递归计算，该方法可成功扩展至非抢占式系统。