[论文解读] Joint temporal and contemporaneous aggregation of random-coefficient AR(1) processes with infinite variance

Pilipauskaitė, Vytautė, Skorniakov, Viktor+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 7

一句话总结

本文研究了在 α 稳态分布（0 < α ≤ 2）的正常吸引域内，具有无限方差创新项的 N 个独立随机系数 AR(1) 过程在时间与同期聚合下的联合极限行为。当 N 和时间尺度 n 以不同速率趋于无穷时，聚合过程的极限行为取决于随机系数的尾指数 β 以及 N 与 n 的相对增长速率，从而产生丰富多样的稳定与非稳定极限分布——包括 α-稳定、(αβ)-稳定、β-稳定以及复合泊松型极限——将先前针对有限方差情形的结果推广至 α < 2 的无限方差设定。

ABSTRACT

We discuss joint temporal and contemporaneous aggregation of $N$ independent copies of random-coefficient AR(1) process driven by i.i.d. innovations in the domain of normal attraction of an $\alpha$-stable distribution, $0< \alpha \le 2$, as both $N$ and the time scale $n$ tend to infinity, possibly at a different rate. Assuming that the tail distribution function of the random autoregressive coefficient regularly varies at the unit root with exponent $\beta > 0$, we show that, for $\beta < \max (\alpha, 1)$, the joint aggregate displays a variety of stable and non-stable limit behaviors with stability index depending on $\alpha$, $\beta$ and the mutual increase rate of $N$ and $n$. The paper extends the results of Pilipauskait\.e and Surgailis (2014) from $\alpha = 2$ to $0 < \alpha < 2$.

研究动机与目标

• 研究具有无限方差创新项的随机系数 AR(1) 过程在时间与同期聚合下的联合渐近行为。
• 将先前针对有限方差 RCAR(1) 面板模型（如 Pilipauskaitė & Surgailis, 2014）的研究结果推广至 α < 2 的无限方差情形。
• 刻画由 N（过程数量）与 n（时间跨度）的相互增长速率不同而产生的全部极限分布——包括稳定与非稳定类型——及其与随机系数尾指数 β 的关系。
• 建立归一化聚合 Sₙ,ₙ(τ) 的极限定理，其极限形式为 α-稳定、β-稳定、(αβ)-稳定或泊松混合稳定过程。

提出的方法

• 将 RCAR(1) 过程建模为 X(t) = aX(t−1) + ε(t)，其中 a ∈ [0,1) 具有密度 φ(x) ∼ ψ₁(1−x)β−1（在 x=1 附近），{ε(t)} 为 i.i.d. 的 α-稳定创新项，且 0 < α ≤ 2。
• 在 N, n → ∞ 且可能以不同速率的联合极限下，分析联合聚合 Sₙ,ₙ(τ) = Σᵢ₌₁ᴺ Σₜ₌₁^[nτ] Xi(t)。
• 通过特征函数分析与随机积分表示，利用有限维分布的弱收敛性推导极限分布律。
• 应用 Dambis–Dubins–Schwarz 定理与泊松随机测度技术，将极限过程表示为关于 α-稳定随机测度的随机积分。
• 通过缩放与条件化论证推导迭代极限，并将其插值为联合极限，依据 β 与 N/n 的速率识别出不同区域。
• 在有限维分布（fdd）意义下建立收敛性，极限分布为 α-稳定、(αβ)-稳定、β-稳定或复合泊松型极限，具体取决于由 α、β 与 N 与 n 的相互增长速率所定义的参数区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 N 与时间尺度 n 以不同速率趋于无穷时，N 个独立 RCAR(1) 过程的联合聚合的极限分布为何？
• RQ2 随机自回归系数的尾指数 β 如何影响极限行为？参数空间中存在哪些不同的区域？
• RQ3 哪些类型的稳定与非稳定极限分布会涌现？它们如何依赖于 N 与 n 的相对增长速率？
• RQ4 本研究如何将先前针对有限方差创新项（α = 2）的结果推广至无限方差情形（α < 2）？
• RQ5 参数 μ = lim N¹/β / n 在确定极限分布中起何作用，特别是在中间区域？

主要发现

• 当 β < max(α, 1) 时，归一化聚合的极限分布对 N 与 n 的相对增长速率极为敏感，导致出现不同区域：α-稳定、(αβ)-稳定、β-稳定或中间泊松型极限。
• 当 1 ≤ β < α 且 N¹/β / n → ∞ 时，极限为 α-稳定；当 0 < β < min(α, 1) 且 N¹/β / n → ∞ 时，极限为 (αβ)-稳定。
• 当 0 < β < α 且 N¹/β / n → 0 时，极限为 β-稳定，表明其为与 α-稳定情形不同的重尾极限。
• 在中间区域，当 N¹/β / n → μ ∈ (0, ∞) 时，极限为包含泊松随机测度的复合分布，称为“中间泊松”型。
• 当 α < β < 1 时，若 N¹/γβ / n → ∞，极限为 (αβ)-稳定；若 N¹/γβ / n → 0，极限为 α-稳定；若 N¹/γβ / n → μ ∈ (0, ∞)，极限为 (αβ)-稳定与 α-稳定分布的卷积（其中 γ = 1−α / 1−β）。
• 当 β > max(α, 1) 时，无论 N 与 n 的增长速率如何，极限始终为 α-稳定，因为聚合行为类似于 i.i.d. α-稳定创新项的和，其尺度因子为 E[(1−a)−α]¹/α。