[论文解读] Joint Time-Vertex Fractional Fourier Transform

Alikaşifoğlu, Tuna, Bünyamin Kartal+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2022

Molecular spectroscopy and chirality被引用 4

一句话总结

本文提出了联合时频分数阶傅里叶变换（JFRT），这是联合傅里叶变换（JFT）的推广，将分数阶傅里叶分析扩展至联合时频图信号。通过在时域和图谱域同时应用分数阶阶次，JFRT 实现了灵活的中间域信号表示，在合成与真实世界网格数据的数值实验中，相较于标准 JFT，实现了更优的去噪与聚类性能。

ABSTRACT

Graph signal processing (GSP) facilitates the analysis of high-dimensional data on non-Euclidean domains by utilizing graph signals defined on graph vertices. In addition to static data, each vertex can provide continuous time-series signals, transforming graph signals into time-series signals on each vertex. The joint time-vertex Fourier transform (JFT) framework offers spectral analysis capabilities to analyze these joint time-vertex signals. Analogous to the fractional Fourier transform (FRT) extending the ordinary Fourier transform (FT), we introduce the joint time-vertex fractional Fourier transform (JFRT) as a generalization of JFT. The JFRT enables fractional analysis for joint time-vertex processing by extending Fourier analysis to fractional orders in both temporal and vertex domains. We theoretically demonstrate that JFRT generalizes JFT and maintains properties such as index additivity, reversibility, reduction to identity, and unitarity for specific graph topologies. Additionally, we derive Tikhonov regularization-based denoising in the JFRT domain, ensuring robust and well-behaved solutions. Comprehensive numerical experiments on synthetic and real-world datasets highlight the effectiveness of JFRT in denoising and clustering tasks that outperform state-of-the-art approaches.

研究动机与目标

• 解决在不规则图结构上随时间演化的联合时频信号处理中对先进谱分析工具的需求。
• 将经典分数阶傅里叶变换（FRT）扩展至图信号处理（GSP）领域，实现在时域与顶点（图）域中的分数阶分析。
• 构建一个统一框架，推广联合傅里叶变换（JFT），并为时变图信号提供一种灵活、参数化的变换方法。
• 通过利用分数阶阶次带来的额外自由度，提升去噪与聚类等应用中的信号处理性能。
• 建立 JFRT 的理论性质，包括指数可加性、可逆性、在特定条件下的酉性，以及作为已知变换的特例时的退化行为。

提出的方法

• 提出联合时频分数阶傅里叶变换（JFRT）作为双参数变换，独立地对时域与图（顶点）域应用分数阶傅里叶变换。
• 通过图拉普拉斯矩阵的特征分解与时间信号的傅里叶变换，结合张量积结构，定义 JFRT。
• 推导 JFRT 的逆变换，并证明其在底层图傅里叶变换为酉变换时的可逆性、指数可加性与酉性。
• 在 JFRT 域中提出一种基于 Tikhonov 正则化的去噪方法，利用联合分数阶拉普拉斯在时域与图域中同时正则化信号。
• 通过两步法实现 JFRT：首先对每个顶点的时间序列应用分数阶傅里叶变换，然后在顶点间应用图分数阶傅里叶变换。
• 使用最近邻图建模空间连通性，并通过重叠的矩形窗函数提取时间序列用于分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶傅里叶变换能否推广至联合时频图信号，以实现中间域谱分析？
• RQ2 在不同图拓扑结构下，所提出的 JFRT 满足哪些理论性质（如可加性、酉性、可逆性）？
• RQ3 与标准 JFT 及其他混合变换相比，JFRT 在信号去噪与聚类性能方面有何提升？
• RQ4 在真实世界应用（如 3D 网格上的运动追踪）中，JFRT 是否优于普通 JFT？
• RQ5 JFRT 是否能作为统一框架，将 JFT、二维 DFT 与二维 DFRT 作为特例进行推广？

主要发现

• JFRT 在聚类准确性方面优于标准 JFT，且在 -10 dB 与 -20 dB 信噪比条件下，最佳分数阶阶次（如 0.6–0.8）均表现出峰值性能。
• 在 -10 dB 信噪比条件下，最优 JFRT 阶次实现了约 92% 的平均聚类准确率，显著优于普通 JFT 及其他混合配置。
• 在 20 次试验中，聚类准确率在分数阶域内的分布更加集中且数值更高，表明其对非分数阶替代方案具有更强的鲁棒性与性能优势。
• 基于 JFRT 的去噪方法能有效抑制稀疏高斯噪声（信噪比 -10 dB 与 -20 dB），性能优于标准 JFT 与混合变换。
• 当阶次为 (1,1) 时，JFRT 退化为标准 JFT；当阶次为 (0,0) 时，退化为恒等变换；当图结构为有向环形图时，退化为二维离散分数阶傅里叶变换，验证了其与已知变换的一致性。
• 当底层图傅里叶变换为酉变换时，JFRT 具有酉性，且满足指数可加性与可逆性，验证了其数学上的合理性。