[论文解读] Jointly Poisson processes

Don H. Johnson, Ilan N. Goodman|ArXiv.org|Nov 13, 2009

Control Systems and Identification参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文证明了联合泊松过程——即每个边缘过程均为泊松过程但过程之间存在依赖性——自然地作为联合伯努利过程在小时间间隔下的极限而出现。关键贡献在于证明此类过程仅能通过累积量相关系数表现出正相关，并且该极限与归一化的Sarmanov-Lancaster展开相关联，从而实现了对神经元群体编码的信息论分析。

ABSTRACT

What constitutes jointly Poisson processes remains an unresolved issue. This report reviews the current state of the theory and indicates how the accepted but unproven model equals that resulting from the small time-interval limit of jointly Bernoulli processes. One intriguing consequence of these models is that jointly Poisson processes can only be positively correlated as measured by the correlation coefficient defined by cumulants of the probability generating functional.

研究动机与目标

• 解决联合泊松过程在建模依赖性神经动作电位发放方面的理论地位不明确问题。
• 在小时间尺度极限下，建立联合伯努利过程与联合泊松过程之间的严格联系。
• 证明联合泊松过程的相关性结构仅能通过累积量相关系数表现为正值。
• 推导Sarmanov-Lancaster展开的归一化方式，以确保与联合泊松过程的累积量相关系数结构一致。
• 通过伯努利模型的小概率极限，实现对联合泊松过程的信息论量（如熵、互信息）的计算。

提出的方法

• 在离散时间窗内使用小事件概率的联合伯努利过程对联合神经动作电位发放统计特性进行建模。
• 取时间窗大小 Δt → 0 的极限，推导联合泊松过程的概率生成泛函。
• 采用基于概率生成泛函的特征函数与矩生成函数形式化方法，适用于点过程。
• 将联合生成泛函的对数表示为与 ∫λ₁(t)dt、∫λ₂(t)dt 和 ∫ρ(t)√(λ₁(t)λ₂(t))dt 成比例的项之和，分别代表边缘和交叉相关性成分。
• 通过各阶方差的几何平均对Sarmanov-Lancaster展开中的高阶项进行归一化，以匹配基于累积量的相关系数。
• 证明平滑的信息论量（如互信息）可通过伯努利模型的极限进行计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于文献中缺乏共识，联合泊松过程的正确理论模型是什么？
• RQ2 在小时间尺度极限下，联合伯努利过程如何收敛到具有依赖事件发生的联合泊松过程？
• RQ3 为何通过累积量定义的联合泊松过程之间的相关系数被限制为非负值？
• RQ4 Sarmanov-Lancaster展开的何种归一化方式能确保与联合泊松过程的累积量相关系数结构一致？
• RQ5 能否通过伯努利过程的小概率极限可靠地计算联合泊松过程的信息论量？

主要发现

• 当 Δt → 0 时，联合伯努利过程的极限产生一个联合泊松过程，其概率生成泛函中包含一个与 ρ(t)√(λ₁(t)λ₂(t)) 成比例的交叉相关项。
• 通过概率生成泛函的累积量定义的相关系数只能为非负值，这意味着联合泊松过程无法表现出负相关。
• Sarmanov-Lancaster展开中第k阶项的归一化常数必须为 (σ₁²⋯σₖ²)^(k-1)/k，以确保与基于累积量的相关系数一致。
• 该归一化方式在保持正交性的同时，使展开参数与联合泊松模型的参数相匹配。
• 联合伯努利过程与联合泊松过程之间的对应关系使得可通过伯努利模型的小概率极限计算平滑的信息论量（如熵、互信息）。
• 所推导的模型确保在基于累积量的相关系数结构下，Sarmanov-Lancaster展开有效且定义良好，从而解决了先前表述中的关键不一致性问题。