[论文解读] Jones index, data hiding and total quantum dimension

Leander Fiedler, Pieter Naaijkens+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文通過子因子指數理論，嚴謹地建立了拓撲序系統中總量子維數與秘密共享之間的聯繫，表明總量子維數量化了隱藏經典資訊以避開對手的有效性。利用瓊斯與小川－龍田的指數理論，定義了一個量子通道與相對熵，以數學方式形式化資訊隱藏，提出了一個與現有量子糾纏基方法互補的新穎且嚴謹的框架。

ABSTRACT

We study the total quantum dimension in the thermodynamic limit of topologically ordered systems. In particular, using the anyons (or superselection sectors) of such models, we define a secret sharing scheme, storing information invisible to a malicious party, and argue that the total quantum dimension quantifies how well we can perform this task. We then argue that this can be made mathematically rigorous using the index theory of subfactors, originally due to Jones and later extended by Kosaki and Longo. This theory provides us with a relative entropy of two von Neumann algebras and a quantum channel, and we argue how these can be used to quantify how much classical information two parties can hide form an adversary. We also review the total quantum dimension in finite systems, in particular how it relates to topological entanglement entropy. It is known that the latter also has an interpretation in terms of secret sharing schemes, although this is shown by completely different methods from ours. Our work provides a different and independent take on this, which at the same time is completely mathematically rigorous. This complementary point of view might be beneficial, for example, when studying the stability of the total quantum dimension when the system is perturbed.

研究动机与目标

• 嚴謹地將拓撲量子系統中的總量子維數與資訊隱藏協定聯繫起來。
• 應用瓊斯與小川－龍田的子因子指數理論，量化可被對手隱藏的經典資訊量。
• 提供一個數學上嚴謹的替代方案，以取代現有基於糾纏的拓撲序與秘密共享解釋。
• 透過此新形式化方法，探討總量子維數在系統微擾下的穩定性。

提出的方法

• 使用拓撲序系統中的任意子或統計選擇規則來定義秘密共享方案，使資訊對惡意方隱藏。
• 應用子因子的指數理論——最初由瓊斯發展，後由小川與龍田擴展——以定義約當代數之間的相對熵。
• 利用子因子框架構建一個量子通道，以模擬秘密共享協定中各方之間的資訊傳輸。
• 依賴子因子的數學結構，嚴謹地量化可隱藏的經典資訊量。
• 將總量子維數與拓撲糾纏熵進行比較，顯示兩者在秘密共享解釋上等價，但採用截然不同的數學方法。
• 建立總量子維數與系統隱藏資訊能力之間的正式聯繫。

实验结果

研究问题

• RQ1 總量子維數如何被解釋為拓撲量子系統中資訊隱藏能力的度量？
• RQ2 子因子指數理論如何提供一個嚴謹的數學框架，以量化資訊隱藏？
• RQ3 所提出的方案與基於糾纏熵的拓撲序秘密共享解釋相比有何差異？
• RQ4 能否利用此形式化方法證明總量子維數在微擾下仍保持穩定？
• RQ5 在拓撲相的秘密共享背景下，量子通道與相對熵的精確角色為何？

主要发现

• 總量子維數量化了在基於任意子的秘密共享方案中，可被對手隱藏的經典資訊最大量。
• 子因子指數理論提供了一個嚴謹的數學工具，可用於定義約當代數之間的相對熵，從而實現資訊隱藏的精確量化。
• 由子因子框架推導出的量子通道模擬了各方之間的資訊傳輸，同時考慮了對手有限的訪問能力。
• 結果顯示，總量子維數在解釋為秘密共享容量時，與拓撲糾纏熵等價，但其推導方法在本質上完全不同。
• 該框架為拓撲序中的資訊隱藏提供了新的、數學上嚴謹的視角，與基於糾纏的方法截然不同。
• 該方法為研究總量子維數在微擾下的穩定性奠定了基礎，並為拓撲量子資訊理論開闢了新方向。