[论文解读] Jordan counterparts of Rickart and Baer $*$-algebras

Shavkat Ayupov, Farhodjon Arzikulov|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2016

Advanced Algebra and Logic被引用 6

一句话总结

本文引入了Rickart和Baer $*$-代数的Jordan代数类比，通过定义每个元素的零化子由幂等元生成的条件来定义Rickart Jordan代数。证明了无幂零元的有限维单位Jordan代数恰好是Baer Jordan代数，并可分解为单Jordan代数的直和，同时对包含极小幂等元的代数给出了分类结果。

ABSTRACT

There are Jordan analogues of annihilators in Jordan algebras which are called Jordan annihilators. The present paper is devoted to investigation of those Jordan algebras every Jordan annihilator of which is generated by an idempotent as an inner ideal. We prove that a finite dimensional unital Jordan algebra satisfies this condition if and only if it has no nilpotent elements, and in this case it is a direct sum of simple Jordan algebras.

研究动机与目标

• 通过零化子条件定义并研究Jordan代数对Rickart和Baer $*$-代数的类比。
• 通过幂等元生成零化子来刻画无幂零元的有限维单位Jordan代数。
• 对包含 $n \geq 3$ 对两两正交、强连通的极小幂等元且和为1的有限维Baer Jordan代数进行分类。
• 建立每一个无幂零元的有限维单位Jordan代数都是Baer Jordan代数的结论。
• 证明此类代数可分解为单Jordan代数的直和。

提出的方法

• 定义Jordan零化子 $S^\perp = \{a \in A : U_a x = 0 \text{ 对所有 } x \in S\}$ 和 $^\perp S = \{x \in A : U_a x = 0 \text{ 对所有 } a \in S\}$。
• 通过条件 (A1) 引入Rickart Jordan代数：对每个 $x \in A_+$，有 $\{x\}^\perp = U_e(A)$，其中 $e$ 为某幂等元。
• 通过条件 (B1) 引入Baer Jordan代数：对每个 $x \in A$，有 $^\perp\{x\}_+ = U_e(A)_+$，其中 $e$ 为某幂等元。
• 利用Shirshov-Cohn和Macdonald恒等式分析Jordan代数中的 $U_a$-运算和内理想。
• 应用坐标化定理及极小幂等元的性质，对包含 $n \geq 3$ 对两两正交的极小幂等元且和为1的代数进行分类。
• 通过幂等元上的格论论证，证明最小上界的存在性及幂等元格的完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Jordan代数中，何时子集的零化子作为内理想由幂等元生成？
• RQ2 哪些特征刻画了所有Jordan零化子均由幂等元生成的有限维单位Jordan代数？
• RQ3 哪些无幂零元的有限维单位Jordan代数是Baer Jordan代数？
• RQ4 包含 $n \geq 3$ 对两两正交、强连通的极小幂等元且和为1的有限维Baer Jordan代数具有怎样的结构？
• RQ5 在 $*$-代数中，Rickart和Baer条件如何转化为Jordan代数中的类比条件？

主要发现

• 有限维单位Jordan代数是Baer Jordan代数当且仅当它无幂零元。
• 每一个无幂零元的有限维单位Jordan代数均可分解为单Jordan代数的直和。
• 若有限维Baer Jordan代数包含 $n \geq 3$ 对两两正交、强连通的极小幂等元且和为1，则其同构于 $H_n(\mathbb{R})$、$H_n(\mathbb{C})$、$H_n(\mathbb{H})$，或当 $n=3$ 时同构于 $H_3(\mathbb{O})$。
• 每一个无幂零元的有限维单位Jordan代数均满足Rickart条件 (A1)，因此是Rickart Jordan代数。
• 无幂零元的有限维单位Jordan代数中，幂等元的格是完备的。
• 对于具有两个连通极小幂等元且和为1的有限维形式实单位Jordan代数，若 $\dim A = 3$，则 $A \cong H_2(\mathbb{R})$；若 $\dim A = 4$，则 $A \cong \mathbb{R} \oplus H$，其中 $H$ 为二维Hilbert空间。