[论文解读] Jost function, prime numbers and Riemann zeta function

S. Joffily|ArXiv.org|Mar 6, 2003

Advanced Mathematical Theories参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文提出了一种类比关系，将黎曼ζ函数的非平凡零点、素数分布与量子散射理论中Jost函数的复零点联系起来。通过分析排斥截断势的s波散射，研究发现Jost函数零点的虚部渐近行为（代表虚共振）精确映射到临界线上ζ函数零点的高度以及素数的渐近增长，暗示存在一个潜在的动力学量子系统，解释数论中的模式。

ABSTRACT

The large complex zeros of the Jost function (poles of the S matrix) in the complex wave number-plane for s-wave scattering by truncated potentials are associated to the distribution of large prime numbers as well as to the asymptotic behavior of the imaginary parts of the zeros of the Riemann zeta function on the critical line. A variant of the Hilbert and Polya conjecture is proposed and considerations about the Dirac sea as ``virtual resonances'' are briefly discussed.

研究动机与目标

• 通过量子散射中S矩阵的复动量极点，实现黎曼ζ函数非平凡零点的物理实现。
• 探索这些散射极点虚部与ζ函数零点高度及素数序列之间的渐近对应关系。
• 提出希尔伯特-波利亚猜想的一种变体，将自伴哈密顿量替换为虚共振的散射系统。
• 提出真空可被建模为无限组虚共振，其性质反映量子混沌中的普适谱统计特性。

提出的方法

• 分析排斥截断势 $ V(r) = O(r^{-1- ho}) $，$ \rho > 0 $ 的s波非相对论性散射。
• 利用Jost函数 $ f_\pm(k) $，通过径向薛定谔方程的正则解与Jost解的朗斯基安定义。
• 通过变换 $ z_n = \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\text{Re}\, \beta_n}{\text{Im}\, \beta_n} $ 将Jost函数的复波数零点 $ \beta_n $ 映射到临界线上。
• 通过第二重变换 $ p_n \sim \frac{1}{4\pi} \cdot \text{Im}\, \beta_n $，将虚共振的宽度与第 $ n $ 个素数联系起来。
• 利用大 $ n $ 的渐近展开，如 $ \text{Im}\, \beta_n \sim \frac{2\pi n}{\ln n} \cdot \left(1 - \frac{1}{n\pi}\right) $，推导 $ t_n $ 和 $ p_n $ 的全局行为。
• 将 $ v=2 $ 时Jost函数零点的数值结果与Odlyzko的ζ零点数据及Caldwell的素数表进行比较，显示全局趋势一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼ζ函数的非平凡零点能否作为散射系统中S矩阵的极点在物理上实现？
• RQ2 Jost函数零点虚部是否与ζ函数零点高度及素数序列存在直接渐近对应关系？
• RQ3 真空能否被建模为无限虚共振系统，其性质反映量子混沌中的普适谱统计特性？
• RQ4 这些虚共振的能量与宽度之比如何与ζ函数零点在临界线上的分布相关？

主要发现

• s波排斥截断势散射中Jost函数零点虚部的渐近行为，与临界线上非平凡ζ函数零点高度 $ t_n $ 的渐近增长完全一致，满足 $ t_n \sim \frac{2\pi n}{\ln n} $。
• 经变换后，虚共振的宽度（正比于 $ \text{Im}\, \beta_n $）再现了第 $ n $ 个素数 $ p_n \sim n \ln n $ 的全局渐近行为，与素数定理预测一致。
• 对于 $ n \leq 6 \times 10^4 $ 的数值比较显示，变换后的Jost零点与Odlyzko的ζ零点数据及Caldwell的素数序列具有良好的一致性。
• ζ零点与素数的局部涨落（图1a与图1b的插图中可见的偏离）未被当前势模型捕捉，表明需要引入统计残余相互作用。
• 由Jost零点得到的能量与宽度之比 $ 4\pi E_n / G_n \sim \pi \cdot \text{Re}\, \beta_n / \text{Im}\, \beta_n $ 对于 $ v=2 $ 与ζ零点的 $ t_n $ 值高度吻合。
• 该模型通过虚共振实现了希尔伯特-波利亚猜想的物理实现，将真空视为无限组离散宽度共振的动力系统，可能将数论与量子混沌联系起来。