[论文解读] Jost-Lehmann-Dyson Representation and Froissart-Martin Bound in Quantum Field Theory on Noncommutative Space-Time

Масуд Чайчиан, Anca Tureanu|ArXiv.org|Mar 2, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文研究了在空间-空间非对易性（θ₀ᵢ = 0）的非对易量子场论（NC QFT）中散射截面的高能上限，该情形保持了 SO(1,1)×SO(2) 对称性。通过一个物理上合理的因果性条件，推导出散射振幅在 cosΘ 上的解析性域为 Lehmann 椭圆，从而首次严格导出了总截面的 Froissart-Martin 上限——该结果仅在入射动量垂直于非对易平面时成立。

ABSTRACT

In the framework of quantum field theory (QFT) on noncommutative (NC) space-time with $SO(1,1) imes SO(2)$ symmetry, which is the feature arising when one has only space-space noncommutativity ($θ_{0i}=0$), we prove that the Jost-Lehmann-Dyson representation, based on the causality condition usually taken in connection with this symmetry, leads to the mere impossibility of drawing any conclusion on the analyticity of the $2 o 2$-scattering amplitude in $\cosΘ$, $Θ$ being the scattering angle. A physical choice of the causality condition rescues the situation and as a result an analog of Lehmann's ellipse as domain of analyticity in $\cosΘ$ is obtained. However, the enlargement of this analyticity domain to Martin's ellipse and the derivation of the Froissart bound for the total cross-section in NC QFT is possible {\it only} in the special case when the incoming momentum is orthogonal to the NC plane. This is the first example of a nonlocal theory in which the cross-sections are subject to a high-energy bound. For the general configuration of the direction of the incoming particle, although the scattering amplitude is still analytic in the Lehmann ellipse, no bound on the total cross-section has been derived. This is due to the lack of a simple unitarity constraint on the partial-wave amplitudes, which could be used in this case. High-energy upper bounds on the total cross-section, among others, are also obtained for an arbitrary flat (noncompact) dimension of NC space-time.

研究动机与目标

• 在非对易量子场论（NC QFT）中建立总截面的高能上限，特别关注空间-空间非对易性的情形。
• 研究在非局部 NC QFT 中（该理论破坏洛伦兹不变性但保持平移不变性）是否可将共变 QFT 中已知的 Froissart-Martin 上限推广至该情形。
• 确定在何种运动学条件（例如，动量相对于 NC 平面的方向）下，散射振幅的解析性与幺正性结构允许此类上限的推导。
• 将分析推广至任意维 NC 时空，区分偶数维与奇数维的情形。
• 解决由于非局域性及角变量增多导致部分波振幅的幺正性约束不明确时，推导上限的挑战。

提出的方法

• 将 Jost-Lehmann-Dyson 表示法适配于具有 SO(1,1)×SO(2) 对称性的 NC QFT，利用针对非对易结构量身定制的因果性与谱条件。
• 引入一个新的物理因果性条件（式 3.39），考虑 (x₁,x₂) 平面中有限的非局域范围，防止瞬时传播，并恢复 cosΘ 上的解析性。
• 证明该新因果性条件在 Wightman-Vladimirov-Petrina 定理下，形式上等价于共变 QFT 中的标准因果性条件。
• 证明散射振幅在 cosΘ 上的 Lehmann 椭圆内是解析的，从而可使用类似于共变 QFT 的色散关系。
• 对部分波振幅施加幺正性约束，以推导总截面、微分截面及非前向振幅的上限。
• 将结果推广至 D 维 NC 时空，识别偶数维与奇数维之间的不同行为，特别是额外角变量的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有空间-空间非对易性的非对易 QFT 中严格推导出 Froissart-Martin 上限？
• RQ2 在何种运动学条件（例如，动量相对于 NC 平面的方向）下，cosΘ 上散射振幅的解析性域足以推导出高能上限？
• RQ3 为何在奇数维 NC 时空下，尽管存在 Lehmann 椭圆，标准 Froissart 上限推导仍会失败？
• RQ4 在一般情形下（即入射动量不垂直于 NC 平面时），是否存在一种方法可获得甚至更弱的上限（如 Greenberg-Low 类型）？
• RQ5 奇数维中额外角变量的出现如何影响部分波振幅的幺正性约束，以及是否仍可能推导出截面上限？

主要发现

• 引入了一个新的因果性条件（式 3.39），其考虑了 (x₁,x₂) 平面中有限的非局域性，恢复了散射振幅在 cosΘ 上的解析性。
• 证明了散射振幅在 cosΘ 上的 Lehmann 椭圆内是解析的，正如在共变 QFT 中一样，从而可使用色散关系。
• 仅当入射动量垂直于非对易平面时（式 4.47），才严格导出了总截面的 Froissart-Martin 上限。
• 在动量垂直于 NC 平面的配置下，也得到了非前向散射振幅（式 4.48）与微分截面（式 4.49）的类似上限。
• 在偶数维 NC 时空下，当入射动量平行于有效“磁”向量 β 时（式 5.54–5.56），可导出类似上限。
• 在奇数维 NC 时空下，由于额外角变量的出现，无法导出此类上限，因为这会阻止对部分波振幅施加简单的幺正性约束。