[论文解读] Journal of Intelligent Materials Systems and Structures / High-order mixed finite elements for an energy-based model of the polarization process in ferroelectric materials

Astrid Pechstein, Martin Meindlhumer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 42被引用 10

一句话总结

本文提出了一种高阶混合有限元方法，用于基于能量的铁电极化模型，将介电位移和应变作为主要未知量，以剩余极化作为内变量。该方法采用正则化变分格式和符合要求的有限元，精确满足高斯定律，从而实现所有场量的单体牛顿求解，并准确模拟非比例加载及在Netgen/NGSolve中的宏观纤维复合材料均质化过程。

ABSTRACT

An energy-based model of the ferroelectric polarization process is presented in the current contribution. In an energy-based setting, dielectric displacement and strain (or displacement) are the primary independent unknowns. As an internal variable, the remanent polarization vector is chosen. The model is then governed by two constitutive functions: the free energy function and the dissipation function. Choices for both functions are given. As the dissipation function for rate-independent response is non-differentiable, it is proposed to regularize the problem. Then, a variational equation can be posed, which is subsequently discretized using conforming finite elements for each quantity. We point out which kind of continuity is needed for each field (displacement, dielectric displacement and remanent polarization) is necessary to obtain a conforming method, and provide corresponding finite elements. The elements are chosen such that Gauss’ law of zero charges is satisfied exactly. The discretized variational equations are solved for all unknowns at once in a single Newton iteration. We present numerical examples gained in the open source software package Netgen/NGSolve.

研究动机与目标

• 开发一种热力学一致的、基于能量的铁电极化模型，将介电位移和应变作为主要未知量。
• 将剩余极化作为由自由能函数和耗散函数控制的内变量。
• 通过正则化处理率无关耗散函数的不可微性，以实现变分格式。
• 设计符合要求的高阶有限元，确保介电位移的高斯定律被精确满足。
• 在开源NGSolve软件中实现并验证该方法，应用于非比例加载和宏观纤维复合材料均质化问题。

提出的方法

• 基于自由能函数 ψ(S, D, Pi) 和用于描述率无关行为的不可微耗散函数，建立铁电问题的弱形式。
• 对不可微耗散函数进行正则化，以实现光滑的变分格式和牛顿迭代。
• 采用混合有限元方法，使用符合要求的单元对位移、介电位移和剩余极化进行离散，确保符合符合方法的连续性要求。
• 采用向量有限元对介电位移进行离散，使其在弱形式中精确满足 ∇·D = 0（高斯定律）。
• 通过单次牛顿迭代，同时求解所有未知量的完全耦合方程组。
• 在开源NGSolve有限元软件中实现该方法，采用高阶单元和自适应网格技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于能量的框架，将介电位移和应变作为主要未知量，构建热力学一致的铁电极化模型？
• RQ2 为确保符合离散化并精确满足介电位移的高斯定律，需要哪些有限元空间？
• RQ3 如何对率无关铁电响应中不可微的耗散函数进行正则化，以实现稳定牛顿求解？
• RQ4 单体牛顿求解器能否高效求解位移、介电位移和剩余极化之间的完全耦合系统？
• RQ5 该模型在预测非比例加载行为及宏观纤维复合材料的均质化性能方面，精度如何？

主要发现

• 模型成功再现了滞迟极化行为，全极化场下剩余极化达到 0.255 C/m²，与实验饱和值一致。
• 均质化压电常数 d33 计算结果为 3.16×10⁻¹⁰ m/V，略低于文献[12]的估计值，原因在于电极附近极化分布不均和电场方向不一致。
• 均质化介电常数 ϵT₃₃ 为 2003ϵ₀，略高于线性值，表明介电响应具有场依赖性。
• 横向压电常数 d32 计算结果为 -1.155×10⁻¹⁰ m/V，表明复合材料中存在强耦合与非对称性。
• 由于一致的切线模量和单体求解策略，牛顿-拉夫森迭代表现出快速收敛性。
• 通过为介电位移选择适当的Raviart-Thomas型单元，有限元格式精确实现了高斯定律 ∇·D = 0。