[论文解读] Jump-Diffusions in Hilbert Spaces: Existence, Stability and Numerics

Damir Filipović, Stefan Tappe+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文引入‘运动框架法’，以建立由无限维布朗运动和补偿泊松随机测度驱动的具有路径依赖系数的随机偏微分方程（SPDEs）的广义解的适定性，包括解的存在性、唯一性和稳定性。通过应用消除漂移项的时间依赖坐标变换，SPDE被简化为更简单的随机微分方程（SDE），从而在一般条件下（包括非马氏过程和跳跃扩散情形）实现系统化分析与数值逼近。

ABSTRACT

By means of an original approach, called "method of the moving frame", we establish existence, uniqueness and stability results for mild and weak solutions of stochastic partial differential equations (SPDEs) with path dependent coefficients driven by an infinite dimensional Wiener process and a compensated Poisson random measure. Our approach is based on a time-dependent coordinate transform, which reduces a wide class of SPDEs to a class of simpler SDE problems. We try to present the most general results, which we can obtain in our setting, within a self-contained framework to demonstrate our approach in all details. Also several numerical approaches to SPDEs in the spirit of this setting are presented.

研究动机与目标

• 为解决缺乏统一框架以分析具有路径依赖系数和一般Lévy噪声（特别是跳跃扩散）的SPDEs的问题。
• 通过引入时间依赖变换，克服无限维SPDEs中不可逆漂移算子带来的分析挑战。
• 在一般条件下（包括非马氏过程和非线性系数）建立广义解（包括弱解和广义解）的存在性、唯一性和稳定性。
• 提供一种自包含的通用方法，通过坐标变换将复杂SPDEs简化为可解的SDEs。
• 支持高阶数值格式的开发，并促进大偏差和粗糙路径分析在SPDE语境下的应用。

提出的方法

• 该方法采用时间依赖的坐标变换 $ r_t \mapsto S_{-t} r_t $，将原始SPDE转化为无漂移项的变换后SDE。
• 在‘运动框架’中分析变换后的SDE，其中动力学仅由波动率和跳跃分量驱动，从而简化了解的分析。
• 该方法依赖Szőkefalvi-Nagy定理，将拟收缩半群扩展为群，从而实现时间反演，这是变换的关键。
• 通过不动点论证和变换后SDE上的 $ L^p $-估计建立存在性与唯一性，利用伊藤等距性和Fubini型定理。
• 通过在 $ L_T^2(\mathbb{P} \otimes \lambda) $ 中逼近序列的收敛性推导稳定性结果，使用勒贝格控制收敛定理和柯西序列论证。
• 通过在 $ V \subset L_T^2(\mu \otimes \lambda) $ 中的序列逼近变换后SDE构造数值格式，利用霍尔德不等式和伊藤等距性证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在包括跳跃和无限维布朗运动的一般Lévy噪声下，为具有路径依赖系数的SPDEs建立广义解（包括弱解和广义解）的存在性、唯一性和稳定性？
• RQ2 如何通过时间依赖变换消除无限维SPDEs中的漂移项，而无需在负时间方向可逆？
• RQ3 在运动框架中，变换后SDE满足何种条件时，其解可经逆变换映射回原始SPDE的广义解？
• RQ4 基于该变换方法，能在多大程度上为具有跳跃和路径依赖性的SPDEs构造高阶数值格式？
• RQ5 该方法能否支持SPDE语境下的高级随机分析，如大偏差原理或粗糙路径表述？

主要发现

• 运动框架法将一大类具有路径依赖系数的SPDEs简化为变换空间中的更简单SDE，从而实现存在性与唯一性结果。
• 利用Szőkefalvi-Nagy定理将拟收缩半群扩展为群，使时间反演成为可能，这是坐标变换所必需的。
• 证明了变换后SDE在 $ L_T^2(\mathbb{P} \otimes \lambda) $ 中存在唯一解，逼近序列的收敛性通过 $ L^p $-估计和勒贝格定理建立。
• 本文证明了原始SPDE的解可通过逆变换 $ r_t = S_t f_t $ 恢复，从而得到广义解。
• 该方法通过将SPDE简化为运动框架中可数值求解的SDE，支持高阶数值格式的构造。
• 该框架为未来扩展至大偏差原理和粗糙路径理论提供了可能，因为变换后的SDE继承了适合此类分析的正则性性质。