[论文解读] Jump formulas in Hamiltonian Geometry

Paul-Émile Paradan|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文建立了哈密顿环作用下辛流形上杜斯特马特-赫克曼测度与黎曼-罗赫特征标跳跃公式的表达式。通过引入约化空间与法丛的曲率及示性类，推导出相邻正则值域之间这些不变量差值的显式多项式表达式，推广了Guillemin-Lerman-Sternberg与Brion-Procesi的早期结果。

ABSTRACT

This paper is concerned with the Hamiltonian actions of a torus on a symplectic manifold. We are interested here in two global invariants: the Duistermaat-Heckman measure DH(M), and the Riemann-Roch chatacters RR(M,L^k),k>0, which are defined when the symplectic manifold is prequantized by a Kostant-Souriau line bundle L. We can associate to each connected component C of regular values of the moment map the following local invariants: the polynomial DH_c which coincides with DH(M) on C, and the periodic polynomial m_c which computes the multiplicity of RR(M,L^k), k>0, in the cone generated by C. The purpose of this paper is to compute the differences DH_c - DH_c' and m_c - m_c' when C and C' are two adjacent connected components of regular values of the moment map.

研究动机与目标

• 理解紧致辛流形上哈密顿环作用的全局不变量，特别是杜斯特马特-赫克曼测度与黎曼-罗赫特征标。
• 分析这些不变量在 момента́льного отображения 正则值相邻连通分支之间的变化方式。
• 通过引入约化空间的曲率与示性类，推广此前在辛几何中关于跳跃公式的成果。
• 利用轨道丛向量丛与局部化技术，为不同域之间群表示重数差异提供精确公式。

提出的方法

• 本文采用环 T 的分解 T = TΔ × T/TΔ，其中 TΔ 是与分离超平面 Δ 正交的一维子环。
• 定义约化空间 MΔξ = (Φ⁻¹(ξ) ∩ M^TΔ)/(T/TΔ)，并赋予其诱导的辛形式 ΩΔξ 与曲率形式 ωΔξ。
• 杜斯特马特-赫克曼测度的跳跃通过 MΔξ 上的积分表达，涉及 exp(ΩΔξ + ⟨a′, ωΔξ⟩) 与由法丛 N_Z 的示性类 αk 构造的多项式 P(a′′)。
• 重数差 m_c+(μ,k) − m_c−(μ,k) 被证明等于在约化空间上一个轨道丛向量丛 S^k_{Z,μ} 的黎曼-罗赫特征标。
• 构造依赖于 β ∈ tΔ 的无穷小作用及法丛上作用的Pfaffian，其中包含稳定子群的阶倒数 |S_Z|⁻¹。
• 该方法应用局部化技术与轨道丛K-理论，将重数的跳跃与约化空间上某丛的黎曼-罗赫特征标联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当穿过分离相邻正则值域的超平面时，杜斯特马特-赫克曼测度如何变化？
• RQ2 在 момента́льного отображения 图像中相邻域之间，T-表示重数差异的精确公式是什么？
• RQ3 约化空间与法丛的曲率及示性类如何影响不变量的跳跃？
• RQ4 β 的无穷小作用与稳定子结构在确定跳跃中的作用是什么？
• RQ5 重数的跳跃能否被解释为约化空间上自然丛的黎曼-罗赫特征标？

主要发现

• 相邻域之间杜斯特马特-赫克曼测度的跳跃由如下多项式积分给出：(DH_c+ − DH_c−)(a+ξ) = |S_Z|⁻¹ / det^{1/2}_Z(−Lβ/(2π)) × ∫_{MΔξ} e^{ΩΔξ + ⟨a′,ωΔξ⟩} P(a′′)，其中 P 是由示性类 αk 构造的 a′′ 的多项式。
• 重数差 m_c+(μ,k) − m_c−(μ,k) 等于约化空间上轨道丛向量丛 S^k_{Z,μ} 的黎曼-罗赫特征标 RR(MΔξ, S^k_{Z,μ})。
• 当 −s_Z⁻ < ⟨μ,β⟩/(2π) − k rΔ < s_Z⁺ 时，重数在域之间相等，且该界是精确的：存在 μ,k 使得在边界处等式不成立。
• 整数 s_Z⁺ + s_Z⁻ 大于 Z 在 M 中余维数的一半，且跳跃公式在此意义上是最优的。
• 当 M = ℂ^d 且具有线性哈密顿作用时，向量分拆函数的跳跃可表示为卷积形式：P_c+(μ) − P_c−(μ) = ∑_{γ∈Λ*∩Δ} D(μ−γ) P_c′(γ)，其中 D(μ) 由 N_{R′}(μ+δ⁻) 与 N_{−R′}(μ+δ⁺) 定义。
• 本结果推广了 Guillemin-Lerman-Sternberg 与 Brion-Procesi 的早期工作，并应用于 SU(n) 的余伴面与复向量空间，给出了分拆函数跳跃的精确公式。