[论文解读] Jump Type Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients and Feller and Strong Feller Properties

Fubao Xi, Chao Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文建立了带超线性增长和非利普希茨系数的多维跳型SDE的非爆破性、路径唯一性及非汇聚性。通过耦合方法，证明了Feller性质与强Feller性质，推导出不可约性与指数遍历性的条件，并在非利普希茨设定下为Lévy型算子提供了Feynman-Kac公式。

ABSTRACT

This paper considers multidimensional jump type stochastic differential equations with super linear growth and non-Lipschitz coefficients. After establishing a sufficient condition for nonexplosion, this paper presents sufficient non-Lipschitz conditions for pathwise uniqueness. The non confluence property for solutions is investigated. Feller and strong Feller properties under non-Lipschitz conditions are investigated via the coupling method. Sufficient conditions for irreducibility and exponential ergodicity are derived. As applications, this paper also studies multidimensional stochastic differential equations driven by Levy processes and presents a Feynman-Kac formula for Levy type operators.

研究动机与目标

• 建立多维跳型SDE在非利普希茨系数下非爆破性的充分条件。
• 推导确保解的路径唯一性与非汇聚性的非利普希茨条件。
• 在非利普希茨假设下，利用耦合方法研究Feller与强Feller性质。
• 为这类SDE提供不可约性与指数遍历性的充分条件。
• 将Feynman-Kac公式扩展至由多维Lévy过程驱动的Lévy型算子。

提出的方法

• 通过L yapunov型函数或漂移与跳跃系数的增长约束，建立非爆破性的充分条件。
• 应用耦合方法，在非利普希茨条件下建立Feller与强Feller性质。
• 利用路径唯一性与非汇聚性论证，分析解的长期行为。
• 通过非利普希茨动力学下转移概率的支撑性质，推导不可约性。
• 结合耦合技术与L yapunov函数准则，建立指数遍历性。
• 应用概率方法，推导具有非利普希茨特征的Lévy型生成元的Feynman-Kac公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种非利普希茨条件下，具有超线性增长的跳型SDE不会发生爆破？
• RQ2 何种条件可确保此类SDE的路径唯一性与非汇聚性？
• RQ3 在不具利普希茨连续性时，如何建立Feller与强Feller性质？
• RQ4 在非利普希茨跳跃扩散过程中，何种条件可保证不可约性与指数遍历性？
• RQ5 能否在非利普希茨系数下为Lévy型算子推导出Feynman-Kac公式？

主要发现

• 为具有超线性增长与非利普希茨系数的多维跳型SDE，建立了非爆破性的充分条件。
• 推导出确保解的路径唯一性与非汇聚性的非利普希茨条件。
• 在非利普希茨假设下，通过耦合方法证明了Feller与强Feller性质。
• 在系数与跳跃结构满足充分条件时，实现了不可约性与指数遍历性。
• 为由多维Lévy过程驱动的Lévy型算子推导出Feynman-Kac公式。
• 结果将扩散过程的经典性质推广至更广泛的非利普希茨系数跳扩散SDE类。