[论文解读] Jumping numbers of analytic multiplier ideals (with an appendix by Sébastien Boucksom)

Dano Kim, Hoseob Seo|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文将跳跃数理论——即乘子理想发生变化的关键阈值——从代数情形推广至一般拟凸函数（psh函数），突破了代数情形的限制。研究在二维情形下，通过牛顿凸体完整刻画了环形psh函数跳跃数极限点（聚点）存在的条件，并表明此类聚点并不罕见，从而构造出不可数多个具有复杂跳跃数行为的新例子。

ABSTRACT

We extend the study of jumping numbers of multiplier ideals due to Ein-Lazarsfeld-Smith-Varolin from the algebraic case to the case of general plurisubharmonic functions. While many properties from Ein-Lazarsfeld-Smith-Varolin are shown to generalize to the plurisubharmonic case, important properties such as periodicity and discreteness do not hold any more. Previously only two particular examples with a cluster point (i.e. failure of discreteness) of jumping numbers were known, due to Guan-Li and to Ein-Lazarsfeld-Smith-Varolin respectively. We generalize them to all toric plurisubharmonic functions in dimension 2 by characterizing precisely when cluster points of jumping numbers exist and by computing all those cluster points. This characterization suggests that clustering of jumping numbers is a rather frequent phenomenon. In particular, we obtain uncountably many new such examples.

研究动机与目标

• 将跳跃数理论从代数奇点推广至一般拟凸函数。
• 研究在解析设定下跳跃数是否可能出现聚点，而非代数情形下的离散、周期性行为。
• 对二维环形psh函数的跳跃数聚点存在性提供完整刻画。
• 构造不可数多个psh函数的新例子，其跳跃数集合中包含聚点。
• 阐明牛顿凸体在决定环形psh函数跳跃数结构中的作用。

提出的方法

• 利用拟凸函数乘子理想开性定理，将跳跃数定义为理想层发生跃迁的点。
• 通过其关联的凸函数及其梯度定义环形psh函数，并将其与函数的牛顿凸体联系起来。
• 利用牛顿凸体 $P(\varphi)$ 的几何性质（特别是渐近行为及与坐标轴的交点）刻画跳跃数集合中聚点的存在性。
• 应用Boucksom附录中的定理2.2，该定理将分次理想系统的渐近乘子理想与相应Siu型psh函数的解析乘子理想联系起来。
• 利用乘子理想的赋值刻画，证明渐近乘子理想与所构造psh函数的解析乘子理想相等。
• 分析关联凸函数梯度的渐近行为，以确定跳跃数集合中聚点的位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般拟凸函数相关乘子理想的跳跃数是否可能出现聚点？若能，其条件为何？
• RQ2 环形psh函数的牛顿凸体几何结构如何决定其跳跃数集合中聚点的存在性与位置？
• RQ3 与代数情形相比，跳跃数在解析设定下周期性与离散性的失效在多大程度上持续存在？
• RQ4 是否存在不可数多个psh函数，其跳跃数集合中包含聚点？
• RQ5 对于二维环形psh函数，跳跃数的聚点集合是否可能无限且无界？

主要发现

• 二维环形psh函数的跳跃数集合可能具有聚点，且当牛顿凸体 $P(\varphi)$ 具有特定渐近或与坐标轴的交点性质时，聚点存在。
• 本文基于 $P(\varphi)$ 的几何性质，对聚点存在性及其具体形式提供了完整刻画（定理5.7），包括所有正整数均为聚点的情形。
• 在特定例子中，跳跃数集合的聚点恰好为 $\{\frac{k}{2} \mid k \in \mathbf{Z}_{>0}\}$，表明聚点具有稠密聚集特性。
• 在所构造的例子中，跳跃数的最小聚点为1，且跳跃数集合包含所有满足 $\mathcal{J}(c\varphi) = \mathcal{O}_{\mathbf{C}^2,0}$ 的 $c \in [0, \frac{1}{2})$，表明1为首次跃迁。
• 对于二维环形psh函数，跳跃数聚点集合为无界且无限，从而正面回答了问题1.1在此情形下的疑问。
• 该构造产生了不可数多个新的psh函数例子，其跳跃数集合中包含聚点，推广了Guan-Li与Ein-Lazarsfeld-Smith-Varolin先前已知的例子。