[论文解读] Junction Conditions for Signature Change

Sean A. Hayward|ArXiv.org|Mar 29, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 19

一句话总结

本文在广义相对论中建立了时空度规签名变化的严格接合条件，表明只有当接合面上的第二基本形式为零时，才能保证里奇张量的明确定义和场方程的一致性。该研究纠正了Dray等人和Ellis等人先前的方法，证明只有在签名转换处动量为零的解才能满足克莱因-戈登方程和爱因斯坦-克莱因-戈登方程，从而施加严格的初值数据约束。

ABSTRACT

The change of signature of a metric is explained using simple examples and methods. The Klein-Gordon field on a signature-changing background is discussed, and it is shown how the approach of Dray et al.\ can be corrected to ensure that the Klein-Gordon equation holds. Isotropic cosmologies are discussed, and it is shown how the approach of Ellis et al.\ can be corrected to ensure that the Einstein-Klein-Gordon equations hold. A straightforward calculation shows that a well defined Ricci tensor requires the standard junction condition, namely vanishing of the second fundamental form of the junction surface.

研究动机与目标

• 解决广义相对论中度规签名变化处理方式的不一致性问题。
• 澄清克莱因-戈登方程和爱因斯坦-克莱因-戈登方程在签名变化超曲面上的正确接合条件。
• 证明标准接合条件——第二基本形式为零——是里奇张量明确定义所必需的。
• 纠正Dray等人和Ellis等人先前方法中的缺陷，这些方法未能确保场方程在接合处成立。
• 表明签名变化对初值数据施加严格约束，例如在接合处动量必须为零，使得此类解非典型且物理上受限。

提出的方法

• 使用度规 $ g_{tt} = t $ 的一维简化模型，分析协变形式和偏导数形式下的克莱因-戈登方程。
• 通过坐标基计算表明，只有当第二基本形式在接合处为零时，里奇张量才是明确定义的。
• 分析解的渐近行为，以确定在 $ t = 0 $ 处哪些形式的场方程在数学上是一致的。
• 从里奇张量明确定义的要求出发，推导出接合条件 $ rac{d heta}{dt} = 0 $，该条件等价于第二基本形式为零。
• 比较克莱因-戈登方程的不同表述形式（协变形式、偏导数形式、绝对值形式、符号函数形式），以识别哪些形式能产生一致的解。
• 利用守恒形式 $ 0 = abla^a T_{ab} $ 推导出 $ ( heta')^2 = c t $，由此得出 $ c = 0 $，从而在 $ t = 0 $ 处得到 $ heta' = 0 $，强制满足接合条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时空度规发生签名变化时，克莱因-戈登方程的正确接合条件是什么？
• RQ2 为何Dray等人和Ellis等人先前的方法在签名变化下无法产生有效解？
• RQ3 里奇张量如何在签名变化的超曲面上保持明确定义？
• RQ4 签名变化对场方程初值数据施加了何种约束？
• RQ5 接合条件 $ K_{ab} = 0 $（即第二基本形式为零）是否对爱因斯坦-克莱因-戈登方程的一致性是必要的？

主要发现

• 接合条件 $ K_{ab} = 0 $，即第二基本形式为零，是里奇张量在签名变化超曲面上明确定义所必需的。
• 对于克莱因-戈登方程，只有在 $ t = 0 $ 处满足 $ rac{d heta}{dt} = 0 $ 的解才能满足场方程，从而排除了接合处存在非平凡动量的可能性。
• Dray等人提出的解 $ heta' = A|t|^{1/2} $ 是无效的，因为它导致里奇张量发散并违反场方程。
• 由守恒形式导出的条件 $ ( heta')^2 = c t $，由于 $ t $ 变号且 $ ( heta')^2 \geq 0 $，强制得出 $ c = 0 $，因此在 $ t = 0 $ 处有 $ heta' = 0 $。
• 接合条件 $ heta' = 0 $ 等价于第二基本形式为零的标准要求，证实了其与微分几何的一致性。
• 由于签名变化施加了强烈约束，它在经典意义上并不稳定，这或许可以解释为何在观测宇宙学中未见此类现象。